Question

若直線x=a與函數(shù)f（x）=cos2x和g（x）=2sinx的圖象分別交于M，N兩點，則|MN|的最大值為（　�。�

• A．

  1

  2

• B．1
• C．

  3

  2

• D．3

Answer 1

分析：根據(jù)題意，|MN|=|cos2x-2sinx|=|2sin²x+2sinx-1|，采用換元法研究關(guān)于sinx的二次函數(shù)的值域，可得t=2sin²x+2sinx-1的取值范圍為[-

3

2

，3]，由此即可得到|MN|的最大值．

解答：解：根據(jù)題意，得|MN|=|cos2x-2sinx|=|2sin²x+2sinx-1|
令t=2sin²x+2sinx-1=2（sinx+

1

2

）²-

3

2

∵sinx∈[-1，1]
∴當sinx=-

1

2

時，t有最小值為-

3

2

；當sinx=1時，t有最大值為3
由此可得t=2sin²x+2sinx-1的取值范圍為[-

3

2

，3]
∴|MN|=|2sin²x+2sinx-1|在sinx=1時有最大值為3
故選：D

點評：本題給出函數(shù)f（x）=cos2x和g（x）=2sinx的圖象，求兩個圖象被直線x=a截得線段長的最大值，著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)求最值等知識，屬于基礎(chǔ)題．