Question

在數(shù)列{a_n}中，，且對(duì)任意的n∈N₊都有．
（Ⅰ）求證：是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若對(duì)于任意n∈N₊都有a_n+1＜pa_n，求實(shí)數(shù)P的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接利用可得；再求出首項(xiàng)不為0即可證：是等比數(shù)列；
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的結(jié)論求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，代入a_n+1＜pa_n把其整理為p＞1+，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出不等式右邊的取值范圍即可得出實(shí)數(shù)P的取值范圍．
解答：解：
（Ⅰ）證明：由，得．
又由，得．
∴是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得．
即．
∵a_n+1＜pa_n（n∈N₊），
∴
顯然，當(dāng)n=1時(shí)，值最大，且最大值為．
∴實(shí)數(shù)p的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及等比數(shù)列的證明和數(shù)列與函數(shù)的綜合問題，是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，屬于中檔題目．