Question

4．定義在數(shù)集U內的函數(shù)y=f（x），若對任意x₁，x₂∈U都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，則稱函數(shù)y=f（x）為U上的storm函數(shù)．
（Ⅰ）判斷下列函數(shù)是否為[-1，1]內storm函數(shù)，并說明理由：
①y=2^x-1+1，②$y=\frac{1}{2}{x^2}+1$；
（Ⅱ）若函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-bx+1$在x∈[-1，1]上為storm函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）逐一判定函數(shù)是否滿足：對任意x₁，x₂∈U都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1即可．
（Ⅱ）依題意，若f（x）為storm函數(shù)，有f（x）_max-f（x）_min＜1，x∈[-1，1]，分類求出$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-bx+1$的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）①y=2^x-1+1是[-1，1]內storm函數(shù)，理由：y=2^x-1+1在[-1，1]上單調增，且${y_{max}}=2，{y_{min}}={2^{-2}}+1=\frac{5}{4}$，
∵$|{y_{max}}-{y_{min}}|=\frac{3}{4}＜1$，∴滿足?x₁，x₂∈U，|f（x₁）-f（x₂）|＜1；（3分）
②$y=\frac{1}{2}{x^2}+1$是[-1，1]內storm函數(shù)，理由：$y=\frac{1}{2}{x^2}+1$在[-1，1]上，且${y_{max}}=\frac{3}{2}，{y_{min}}=1$，
∵$|{y_{max}}-{y_{min}}|=\frac{1}{2}＜1$，∴滿足?x₁，x₂∈U，|f（x₁）-f（x₂）|＜1；（3分）
（Ⅱ）依題意，若f（x）為storm函數(shù)，有f（x）_max-f（x）_min＜1，x∈[-1，1]，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-bx+1$的對稱軸為x=b．
1°若b＜-1，$f{（x）_{max}}=f（1）=\frac{1}{2}-b+1，f{（x）_{min}}=f（-1）=\frac{1}{2}+b+1$，
∴$-2b＜1，b＞-\frac{1}{2}$，無解；
2°若-1≤b＜0，$f{（x）_{max}}=f（1）=\frac{1}{2}-b+1，f{（x）_{min}}=f（b）=\frac{1}{2}{b^2}-{b^2}+1$，
∴${b^2}-2b-1＜0，1-\sqrt{2}＜b＜0$；
3°若0≤b≤1，$f{（x）_{max}}=f（-1）=\frac{1}{2}+b+1，f{（x）_{min}}=f（b）=\frac{1}{2}{b^2}-{b^2}+1$，
∴${b^2}+2b-1＜0，0≤b＜\sqrt{2}-1$；
4°若b＞1，$f{（x）_{max}}=f（-1）=\frac{1}{2}+b+1，f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{2}-b+1$，∴$2b＜1，b＜\frac{1}{2}$，無解．
綜上，b的取值范圍為$（1-\sqrt{2}，\sqrt{2}-1）$．（6分）

點評 本題考查了新定義問題，及分析問題的能力、分類討論思想的應用，屬于中檔題．