Question

9．已知集合M是同時(shí)滿足下列條件的函數(shù)f（x）的全體：①f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）；②對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，都有f（x）=f（${\frac{1}{x}}$）成立．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$（x＞0），證明：f（x）屬于集合M，且存在定義域?yàn)閇2，+∞）的函數(shù)g（x），使得對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，都有g(shù)（x+$\frac{1}{x}}$）=f（x）成立；
（2）對(duì)于集合M中的任意函數(shù)f（x），證明：存在定義域?yàn)閇2，+∞）的函數(shù)g（x），使得對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，都有g(shù)（x+$\frac{1}{x}}$）=f（x）成立．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{\frac{1}{x}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=f（x）．故滿足①②．
（2）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=$（\frac{1+{x}^{2}}{x}）^{-1}$=$（\frac{1}{x}+x）^{-1}$=g（x+$\frac{1}{x}}$），⇒g（x）=$\frac{1}{x}$，∵$x+\frac{1}{x}≥2$．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$（x＞0），滿足：①f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）；
又∵函數(shù)f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{\frac{1}{x}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=f（x）．故滿足②對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，都有f（x）=f（${\frac{1}{x}}$）成立．
∴f（x）屬于集合M．
（2）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=$（\frac{1+{x}^{2}}{x}）^{-1}$=$（\frac{1}{x}+x）^{-1}$=g（x+$\frac{1}{x}}$），⇒g（x）=$\frac{1}{x}$，∵$x+\frac{1}{x}≥2$，
即存在定義域?yàn)閇2，+∞）的函數(shù)g（x），使得對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，都有g(shù)（x+$\frac{1}{x}}$）=f（x）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的解析式及定義域，理解函數(shù)的三要素的含義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．