Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx+a$（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期
（2）若f（x）有最大值3，求實數(shù)a的值；
（3）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的三角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的最大值，求得a的值．
（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx+a$=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a，故該函數(shù)的最小正周期為$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）∵f（x）有最大值3，即2+a=3，求實數(shù)a=1．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得[令2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查兩角和差的三角公式，正弦函數(shù)的周期性、最大值、以及單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．