【題目】如圖，已知四面體中，，且兩兩互相垂直，點(diǎn)是的中心．

（1）求二面角的大�。ㄓ梅慈呛瘮�(shù)表示）；

（2）過(guò)作，垂足為，求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積；

（3）將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線與直線所成角記為，求的取值范圍．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)三垂線定理，取中點(diǎn)，連接和，所以，則即為二面角的平面角，解三角形即可求出二面角的大��；

（2）按照?qǐng)A錐的定義可知，繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體，計(jì)算出圓錐底面半徑以及圓錐的高，即可求出體積；

（3）取中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，求出和，利用向量的夾角公式可求出，最后根據(jù)平面幾何知識(shí)即可求出的取值范圍．

（1）取中點(diǎn)，連接和，因?yàn)辄c(diǎn)在平面的射影在中線上，

所以，由二面角的定義可知，即為二面角的平面角．在中，，，

所以，即，

所以二面角的大小為．

（2）過(guò)作，經(jīng)計(jì)算得，

由此得，

所以繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積：

．

（3）取中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

設(shè)，則，，

所以，

在平面上，點(diǎn)的軌跡方程為，

令，則，

所以，

于是．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近年來(lái)，來(lái)自“一帶一路”沿線的20國(guó)青年評(píng)選出了中國(guó)的“新四大發(fā)明”：高鐵、掃碼支付、共享單車(chē)和網(wǎng)購(gòu)．其中共享單車(chē)既響應(yīng)綠色出行號(hào)召，節(jié)能減排，保護(hù)環(huán)境，又方便人們短距離出行，增強(qiáng)靈活性．某城市試投放3個(gè)品牌的共享單車(chē)分別為紅車(chē)、黃車(chē)、藍(lán)車(chē)，三種車(chē)的計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)均為每15分鐘（不足15分鐘按15分鐘計(jì)）1元，按每日累計(jì)時(shí)長(zhǎng)結(jié)算費(fèi)用，例如某人某日共使用了24分鐘，系統(tǒng)計(jì)時(shí)為30分鐘．A同學(xué)統(tǒng)計(jì)了他1個(gè)月（按30天計(jì)）每天使用共享單車(chē)的時(shí)長(zhǎng)如莖葉圖所示，不考慮每月自然因素和社會(huì)因素的影響，用頻率近似代替概率．設(shè)A同學(xué)每天消費(fèi)元．

（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）各品牌為推廣用戶(hù)使用，推出APP注冊(cè)會(huì)員的優(yōu)惠活動(dòng)：紅車(chē)月功能使用費(fèi)8元，每天消費(fèi)打5折；黃車(chē)月功能使用費(fèi)20元，每天前15分鐘免費(fèi)，之后消費(fèi)打8折；藍(lán)車(chē)月功能使用費(fèi)45元，每月使用22小時(shí)之內(nèi)免費(fèi)，超出部分按每15分鐘1元計(jì)費(fèi)．設(shè)分別為紅車(chē)，黃車(chē)，藍(lán)車(chē)的月消費(fèi)，寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式，參考（1）的結(jié)果，A同學(xué)下個(gè)月選擇其中一個(gè)注冊(cè)會(huì)員，他選哪個(gè)費(fèi)用最低？

（3）該城市計(jì)劃3個(gè)品牌的共享單車(chē)共3000輛正式投入使用，為節(jié)約居民開(kāi)支，隨機(jī)調(diào)查了100名用戶(hù)一周的平均使用時(shí)長(zhǎng)如下表：

時(shí)長(zhǎng)

(0，15]

(15，30]

(30，45]

(45，60]

人數(shù)

16

45

34

5

在（2）的活動(dòng)條件下，每個(gè)品牌各應(yīng)該投放多少輛？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（1）集合，或，對(duì)于任意，定義，對(duì)任意，定義，記為集合的元素個(gè)數(shù)，求的值；

（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）已知當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)此信息，若對(duì)任意，都有，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，設(shè)直線分別是曲線的兩條不同的切線；

（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有極小值為-4；

（i）求的值；

（ii）若直線亦與曲線相切，且三條不同的直線交于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若直線，直線與曲線切于點(diǎn)B且交曲線于點(diǎn)D，直線與曲線切于點(diǎn)C且交曲線于點(diǎn)A，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，M為△ABC的中線AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線分別交線段AB、AC于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，設(shè)，，記.

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的解析式（指明定義域）；

（3）設(shè)，，若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿(mǎn)足：.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列的通項(xiàng)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，均有總成立？若成立，求出t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸上，開(kāi)口向上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知拋物線C過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證： 為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某網(wǎng)站用“100分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取10名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）；若幸福度不低于95分，則稱(chēng)該人的幸福度為“極幸福”．

（1）從這10人中隨機(jī)選取3人，記表示抽到“極幸福”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）以這10人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記表示抽到“極幸福”的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PPD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（I）求證：M為PB的中點(diǎn)；

（II）求二面角B-PD-A的大��；

（III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．

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