Question

4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為4的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，俯視圖為一個(gè)矩形與它的一條對(duì)角線．
（1）用斜二測(cè)畫法畫出這個(gè)幾何體的直觀圖；
（2）求該幾何體的表面積；
（3）在幾何體直圖中，在線段PB上是否得在點(diǎn)M，使得PB⊥平面MAC，若得在，求線段PM的長，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）三視圖復(fù)原幾何體是四棱錐，一條側(cè)棱垂直底面正方形，考查正方體的圖形，即可得到這樣的幾何體．
（2）利用體積公式求解；
（3）AC⊥面PDB⇒PB⊥AC，要使PB⊥平面MAC，只需PB⊥AM即可，過A作AM⊥PB與M即可，利用面積等求AM．再求PM

解答 解：（1）視圖復(fù)原的幾何體是底面為 正方形，側(cè)棱垂直底面，是正方體的一部分，幾何體的直觀圖如圖1所示；
（2）s_ADP=S_CDP=$\frac{1}{2}×4×4=8$，
∵AB⊥面PAD，BC⊥面PDC，∴S_PBC=S_PBA=$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
∴該幾何體的表面積s=8×2+8$\sqrt{2}$×2+16=32+16$\sqrt{2}$．
（3）∵AC⊥DB，AC⊥PD，PD∩DB=D，∴AC⊥面PDB⇒PB⊥AC，
要使PB⊥平面MAC，只需PB⊥AM即可，
∴過A作AM⊥PB與M即可，
在Rt△PAB中，PA•AB=PB•AM⇒4$\sqrt{2}$×4=4$\sqrt{3}$×AM⇒AM=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴$PM=\sqrt{P{A}^{2}-A{M}^{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三視圖，及幾何體的表面積、線面垂直的動(dòng)點(diǎn)問題，屬于中檔題．