Question

如圖，已知橢圓的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：x²＋y²－6x－2y＋7＝0相切．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P、Q兩點，且求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標(biāo)

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程

　　，圓的圓心為，半徑．

　　由，得直線，

　　即，

　　由直線與圓相切，得，

　　或(舍去)　　2分

　　當(dāng)時，，

　　故橢圓的方程為　　4分

　　(Ⅱ)(方法一)由知，從而直線與坐標(biāo)軸不垂直，

　　由可設(shè)直線的方程為，

　　直線的方程為．

　　將代入橢圓的方程

　　并整理得；　　6分

　　解得或，因此的坐標(biāo)為，

　　即　　8分

　　將上式中的換成，得．

　　直線的方程為

　　化簡得直線的方程為，

　　因此直線過定點　　12分

　　(方法二)由題直線的斜率存在，則可設(shè)直線的方程為：

　　，

　　代入橢圓的方程并整理得；

　　，

　　設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，則是上述關(guān)于的方程兩個不相等的實數(shù)解，從而

　　

　　由得

　　，

　　

　　整理得：由知．

　　此時，因此直線過定點．