Question

1．如圖，所有棱長(zhǎng)都為2的直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，B′D′中點(diǎn)為E′．
（1）求證：AE′∥平面BC′D；
（2）若∠BCD=60°，求二面角A-BC′-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，交BD于E，由ABCD四邊相等知E為AC中點(diǎn)，連結(jié)A′C′，推導(dǎo)出四邊形ACC′A′為平行四邊形，連結(jié)C′E，則四邊形AEC′E′是平行四邊形，從而AE′∥C′E，由此能證明AE′∥平面BC′D．
（2）設(shè)BD中點(diǎn)為E，以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EB為y軸，EE′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BC′-D的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，交BD于E，由ABCD四邊相等知E為AC中點(diǎn)，連結(jié)A′C′，由A′B′C′D′四邊相等知A′C′與B′D′交于點(diǎn)E′，
又在棱柱ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥CC′，AA′=CC′，
∴四邊形ACC′A′為平行四邊形，∴AC∥A′C′，AC=A′C′，
∴C′E′=AE，C′E′∥AE，
連結(jié)C′E，則四邊形AEC′E′是平行四邊形，∴AE′∥C′E，
∵AE′?平面BC′D，C′E?平面BC′D，
∴AE′∥平面BC′D．
解：（2）設(shè)BD中點(diǎn)為E，
∵∠BCD=60°，ABCD四邊長(zhǎng)都為2，
∴AC⊥BD，EA=EC=$\sqrt{3}$，EB=ED=1，
∵四棱柱是直四棱柱，
∴以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EB為y軸，EE′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），D（0，-1，0），C′（-$\sqrt{3}$，0，2），
∴$\overrightarrow{B{C}^{'}}$=（-$\sqrt{3}$，-1，2），$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，-2，0），
設(shè)平面ABC′的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}^{'}}=-\sqrt{3}x-y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
同理求出平面BC′D的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（2，0，$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2+3}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}$=$\frac{5}{7}$．
∴二面角A-BC′-D的余弦值為$\frac{5}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．