Question

6．已知函數(shù)f（x）=-x²+mx-1（m∈R）．
（1）試求f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上的最大值；
（2）若函數(shù)|f（x）|在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）配方后寫出二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程，然后分類討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最值；
（2）f（x）=-x²+mx-1=$-（x-\frac{m}{2}）^{2}+\frac{{m}^{2}}{4}-1$，其對(duì)稱軸方程為x=$\frac{m}{2}$，是開口向下的拋物線，分$\frac{{m}^{2}}{4}-1≤0$和$\frac{{m}^{2}}{4}-1＞0$兩種情況分別求出函數(shù)|f（x）|的一個(gè)增區(qū)間，然后利用函數(shù)|f（x）|在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增列式求得m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=-x²+mx-1=$-（x-\frac{m}{2}）^{2}+\frac{{m}^{2}}{4}-1$，
當(dāng)$\frac{m}{2}≤\frac{1}{2}$，即m≤1時(shí)，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞減，$f（x）_{max}=f（\frac{1}{2}）=\frac{m}{2}-\frac{5}{4}$；
當(dāng)$\frac{1}{2}＜\frac{m}{2}＜1$，即1＜m＜2時(shí)，$f（x）_{max}=f（\frac{m}{2}）=\frac{{m}^{2}}{4}-1$；
當(dāng)$\frac{m}{2}≥1$，即m≥2時(shí)，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞增，f（x）_max=f（1）=m-2．
∴$f（x）_{max}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}-\frac{5}{4}，m≤1}\\{\frac{{m}^{2}}{4}-1，1＜m＜2}\\{m-2，m≥2}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=-x²+mx-1=$-（x-\frac{m}{2}）^{2}+\frac{{m}^{2}}{4}-1$，
其對(duì)稱軸方程為x=$\frac{m}{2}$，是開口向下的拋物線，
當(dāng)$\frac{{m}^{2}}{4}-1≤0$，即-2≤m≤2時(shí)，
|f（x）|=$（x-\frac{m}{2}）^{2}+1-\frac{{m}^{2}}{4}$，|f（x）|的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{m}{2}$，+∞），
∴$\frac{m}{2}≤\frac{1}{2}$，得m≤1，
∴-2≤m≤1；
當(dāng)$\frac{{m}^{2}}{4}-1＞0$，即m＜-2或m＞2時(shí)，
f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
設(shè)x₁＜$\frac{m}{2}$＜x₂，將f（x）的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折得|f（x）|的圖象，
那么|f（x）|的一個(gè)遞增區(qū)間為[x₂，+∞），
若|f（x）|在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
則需$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{2}）=\frac{m}{2}-\frac{5}{4}≤0}\\{\frac{m}{2}＜\frac{1}{2}}\\{m＜-2或m＞2}\end{array}\right.$，解得m＜-2．
綜上，m的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．