Question

已知f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)，且a≠b），f（2）=0，方程f（x）=x有兩個相等實根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知中方程f（x）=x有兩個相等實根，可得b=1，由f（2）=0，可得a=-

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，代入可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，分析當(dāng)x∈[1，2]時，函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得到f（x）的值域．

解答： 解：（1）方程f（x）=x，即ax²+bx=x，亦即ax²+（b-1）x=0，
由方程有兩個相等實根，得△=（b-1）²-4a×0=0，
∴b=1，①
由f（2）=0，得4a+2b=0，②
由①、②得，a=-

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，b=1，
故f（x）=-

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x²+x．
（2）∵f（x）=-

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x²+x的圖象是開口朝下，且以直線x=1為對稱軸的拋物線
故當(dāng)x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
故當(dāng)x=1時，函數(shù)取最大值

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，
當(dāng)x=2時，函數(shù)取最小值0，
故當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）的值域為[0，

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]．

點評：本題考查的知識點二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程根的個數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．