Question

6．已知$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x$，
（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸所在直線的方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用降次公式將函數(shù)化簡y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解f（x）的對稱軸所在直線的方程．
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x$，
化簡得：$f（x）=1+cos2x+\sqrt{3}sin2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
令$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
解得：$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
即得f（x）的對稱軸方程為：$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
（2）由（1）得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵2x+$\frac{π}{6}$∈[2kπ$-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]是單調(diào)遞增區(qū)間，即$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得：$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]$（k∈Z）．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．