Question

【題目】設f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，且0≤x≤2時，y＝x；當x＞2時，y＝f(x)的圖象是頂點為P(3，4)且過點A(2，2)的拋物線的一部分．

(1)求函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上的解析式；

(2)寫出函數(shù)f(x)的值域和單調區(qū)間．

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)；（2）值域為{y|y≤4}．單調增區(qū)間為(－∞，－3]，[0，3]，單調減區(qū)間為[－3，0]，[3，＋∞).

【解析】

(1)先根據(jù)題意求出a=-2,再利用代入法求函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上的解析式；（2）作出函數(shù)f(x)的圖像，寫出函數(shù)f(x)的值域和單調區(qū)間．

解：(1)當x＞2時，設f(x)＝a(x－3)2＋4.

∵f(x)的圖象過點A(2，2)，∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，

∴a＝－2，

∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.

設x∈(－∞，－2)，則－x＞2，

∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.

又因為f(x)在R上為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，

∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，

即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．

(2)函數(shù)f(x)圖象如圖所示．

由圖象觀察知f(x)的值域為{y|y≤4}．單調增區(qū)間為(－∞，－3]，[0，3]．

單調減區(qū)間為[－3，0]，[3，＋∞)．