Question

有下列命題：
①若非零向量

a

、

b

，滿(mǎn)足

a

•

b

=0，則一定有

a

⊥

b

；
②將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin（2x-

π

6

）的圖象；
③命題“若|x|≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題是“若|x|≥2，則-2＜x＜2”；
④方程

x

2

+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是

D

2

+E2-4F≥0；
⑤對(duì)于命題p：?x∈R．使得x²+x+1＜0，則￢p：?x∈R，均有x²+x+1≥0．
其中假命題的序號(hào)是

③④

．

Answer 1

分析：①據(jù)課本必修4中的結(jié)論：非零向量

a

、

b

，若

a

•

b

=0，則一定有

a

⊥

b

．
②據(jù)平移變換的法則：“左加右減”可知，將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)y=cos[2(x-

π

3

)]，再據(jù)誘導(dǎo)公式可進(jìn)一步化出其表達(dá)式．
③命題“若p，則q”的否命題是“若￢p，則￢q”．據(jù)此可以判斷出③的真假．
④將方程

x

2

+y2+Dx+Ey+F=0配方化為(x+

D

2

)2+(y+

E

2

)2=

D2+E2-4F

4

，可以判斷出④的真假．
⑤對(duì)于命題：“?x∈R，結(jié)論p成立”，則命題的否定是：“?x∈R，結(jié)論p的反面成立”據(jù)此可判斷出其真假．

解答：解：①非零向量

a

•

b

=0，則一定有

a

⊥

b

．
②將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)y=cos[2(x-

π

3

)]=cos(2x-

2π

3

)=cos(

2π

3

-2x)=cos[

π

2

-(2x-

π

6

)]=sin（2x-

π

6

）
的圖象，故②正確．
③命題“若|x|≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題應(yīng)是“若|x|＜2，則-2＜x＜2”，故③不正確．
④∵方程

x

2

+y2+Dx+Ey+F=0⇒(x+

D

2

)2+(y+

E

2

)2=

D2+E2-4F

4

，
∴只有當(dāng)

D

2

+E2-4F＞0時(shí)，方程

x

2

+y2+Dx+Ey+F=0才表示一個(gè)圓，
因此④不正確．
⑤據(jù)命題：“?x∈R，結(jié)論p成立”，則命題的否定是：“?x∈R，結(jié)論p的反面成立”，
可知“命題p：?x∈R．使得x²+x+＜0，則￢p：?x∈R，均有x²+x+1≥0”正確．
故答案為③④．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系、三角函數(shù)圖象的變換與誘導(dǎo)公式、四種命題間的關(guān)系、圓的方程及命題的否定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握好有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)及判斷方法．