Question

【題目】如果有窮數(shù)列、、、、（為正整數(shù)）滿足條件、、，即，我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如，數(shù)列、、、、與數(shù)列、、、、、都是“對稱數(shù)列”.

（1）設(shè)是項的“對稱數(shù)列”，其中、、、是等差數(shù)列，且，，依次寫出的每一項；

（2）設(shè)是項的“對稱數(shù)列”，其中、、、是首項為，公比為的等比數(shù)列，求各項的和；

（3）設(shè)是項的“對稱數(shù)列”，其中、、、是首項為，公差為的等差數(shù)列，求前項的和.

Answer 1

【答案】（1）、、、、、、；（2）；（3）.

【解析】

（1）由、、、是等差數(shù)列，且，，先求出、、、，然后由“對稱數(shù)列”的特點可寫出數(shù)列的各項；

（2）由、、、是首項為，公比為的等比數(shù)列，先求出、、、的和，結(jié)合對稱性數(shù)列對應(yīng)項相等的特點，可知前面的各項，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列的和；

（3）由、、、是首項為，公差為的等差數(shù)列，可求出、、、的通項，由對稱數(shù)列的特點，可求出數(shù)列前項的和.

（1）設(shè)數(shù)列、、、的公差為，則，解得.

則，，因此，數(shù)列為：、、、、、、；

（2）由題意得；

（3），.

由題意可知，數(shù)列、、、是首項為，公差為的等差數(shù)列.

當時，；

當時，.

因此，.