【題目】如圖,在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中, AB 3 , AA1 4 , M 為 AA1 的中點, P 是 BC 上一點,且由 P 沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱 CC1 到 M 點的最短路線長為 ,設這條最短路線與 CC1 的交點為 N 。求:
(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長;
(2) PC 和 NC 的長;
(3)平面 NMP 和平面 ABC 所成銳二面角大小的正切值.
【答案】(1) ;(2) PC 2 , NC ;(3)
【解析】
(1)由展開圖為矩形,用勾股定理求對角線長.
(2)在側(cè)面展開圖中三角形MAP1是直角三角形,可以求出線段AP的長度,進而可以求出PC的長度,再由相似比可以求得CN的長度.
(3)補形,找出兩面的交線,在特殊的位置作出線面角,如圖2.二面角易求.
解:(1)正三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面展開圖是一個長為9,寬為4的矩形,其對角線長為
(2)如圖1,將側(cè)面BB1C1C繞棱CC1旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA1C1C在同一平面上,點P運動到點P1的位置,連接MP1,則MP1就是由點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到點M的最短路線
圖1
設PC=x,則P1C=x,在Rt△MAP1中,由勾股定理得(3+x)2+22=29
求得x=2
∴PC=P1C=2
∵
∴
(3)如圖2,連接PP1,則PP1就是平面NMP與平面ABC的交線,作NH⊥PP1于H,又CC1⊥平面ABC,連接CH,由三垂線定理得,CH⊥PP1
圖2
∴∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角(銳角)
在Rt△PHC中,∵,∴
在Rt△NCH中,
故平面 NMP 和平面 ABC 所成銳二面角大小的正切值為
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【題目】如圖,在三棱錐中,底面是邊長為4的正三角形,,底面,點分別為,的中點.
(1)求證:平面平面;
(2)在線段上是否存在點,使得直線與平面所成的角的正弦值為?若存在,確定點的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+(ω≥0,|φ|<π)的圖象與直線y=c(<c<)的三個相鄰交點的橫坐標為2,6,18,若a=f(lg),b=f(lg2),則以下關(guān)系式正確的是( 。
A. a+b=0B. a﹣b=0C. a+b=1D. a﹣b=1
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【題目】已知a、b、c為的三邊長,直線的方程為,圓.
(1)若為直角三角形,c為斜邊長,且直線與圓M相切.求c的值;
(2)已知為坐標原點,點,,,,平行于ON的直線h與圓M相交于R,兩點,且,求直線h的方程:
(3)若為正三角形,對于直線上任意一點P,在圓上總存在一點,使得線段的長度為整數(shù),求c的取值范圍;
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【題目】如圖已知四棱錐 P ABCD 的底面是邊長為 6 的正方形,側(cè)棱 PA 的長為 8,且垂直于底面,點 M . N 分別是 DC .AB 的中點。
求:(1)異面直線 PM 與 CN 所成角的正切值;
(2)四棱錐 P ABCD 的表面積.
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【題目】已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實數(shù)使得,則實數(shù)的值為( )
A. B. C. D.
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【題目】如果有窮數(shù)列、、、、(為正整數(shù))滿足條件、、,即,我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如,數(shù)列、、、、與數(shù)列、、、、、都是“對稱數(shù)列”.
(1)設是項的“對稱數(shù)列”,其中、、、是等差數(shù)列,且,,依次寫出的每一項;
(2)設是項的“對稱數(shù)列”,其中、、、是首項為,公比為的等比數(shù)列,求各項的和;
(3)設是項的“對稱數(shù)列”,其中、、、是首項為,公差為的等差數(shù)列,求前項的和.
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【題目】嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點43分左右,嫦娥四號順利進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道,如圖中軌道③所示,其近月點與月球表面距離為公里,遠月點與月球表面距離為公里.已知月球的直徑為公里,則該橢圓形軌道的離心率約為
A. B. C. D.
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