Question

【題目】已知命題P:在R上定義運(yùn)算：x y=(1-x)y.不等式x （1-a)x<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立;命題Q:若不等式≥2對(duì)任意的x∈ N*恒成立.若P∧ Q為假命題,P∨ Q為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】

【解析】

分別求出p、q為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，通過p∧q為假命題，p∨q為真命題，可知p、q有且只有一個(gè)是真命題，分類討論，求出求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

由題意知,x (1-a)x=(1-x)(1-a)x,

若命題P為真,(1-a)x2-(1-a)x+1>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,

∴①當(dāng)1-a=0即a=1時(shí),1>0恒成立,∴a=1.

②當(dāng)1-a≠0時(shí),

∴-3<a<1.

綜合①②得,-3<a≤1.

若命題Q為真,∵x>0,∴x+1>0,

則(x2+ax+6)≥2(x+1)對(duì)任意的x∈N*恒成立,

即a≥-+2對(duì)任意的x∈N*恒成立,

令f(x)=-+2,只需a≥f(x)max,

∵f(x)≤-2+2=-4+2=-2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=(x∈N*),即x=2時(shí)取等號(hào).

∴a≥-2.

∵P∧Q為假命題,P∨Q為真命題,

∴P,Q中必有一個(gè)真命題,一個(gè)假命題.

若P為真Q為假,則解得- 3<a<-2,

若P為假Q(mào)為真,則

∴a>1.

綜上可得a取值范圍為(-3,-2)∪(1,+∞).