Question

（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù)（），其中．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值和極小值；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，是否存在函數(shù)圖像上兩點(diǎn)以及函數(shù)圖像上兩點(diǎn)，使得以這四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形ABCD滿足如下條件：1四邊形ABCD是平行四邊形；2軸；3。若存在，指出四邊形ABCD的個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，得，且，．

所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，

整理得．

（Ⅱ）解：，．

令，解得或．  

由于，以下分兩種情況討論．

（1）若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表：

因此，函數(shù)在處取得極小值，且；

函數(shù)在處取得極大值，且．

（2）若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表：

因此，函數(shù)在處取得極小值，且；

函數(shù)在處取得極大值，且．

（Ⅲ）若存在滿足題意的四邊形ABCD，則方程至少有兩個(gè)相異實(shí)根，且每個(gè)實(shí)根對(duì)應(yīng)一條垂直于x軸且與圖像均相交的的線段，這些線段長(zhǎng)度均相等。

，

1時(shí)，，令，

   令，得或

由表格知，為的極大值，為的極大值，而  ，故的圖像與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)。

2時(shí)，，令，，

由1知為的極大值，為的極大值，而  ，故的圖像與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，有三個(gè)零點(diǎn)。

由12知，方程有四個(gè)不同的實(shí)根，從小到大依次記為，這四個(gè)根對(duì)應(yīng)的四條線段中的每?jī)蓷l對(duì)應(yīng)一個(gè)平行四邊形ABCD，共有6個(gè)，所以滿足題意的平行四邊形ABCD有6個(gè)。