Question

已知函數(shù)f（x）=a^2x+2a^x-1（a＞1，且a為常數(shù)）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為14．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求滿足f（x）=7時x的值．

Answer 1

考點：復合函數(shù)的單調性

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）令t=a^x ＞0，由條件可得t=a^x∈[

1

a

，a]，f（x）=（t+1）²-2，故當t=a時，函數(shù)y取得最大值為a²+2a-1=14，求得a的值，可得f（x）的解析式．
（2）由f（x）=7，求得 3^x=2，從而得到x的值．

解答： 解：（1）令t=a^x ＞0，∵x∈[-1，1]，a＞1，∴a^x∈[

1

a

，a]，f（x）=y=t²+2t-1=（t+1）²-2，
故當t=a時，函數(shù)y取得最大值為a²+2a-1=14，求得a=3，∴f（x）=3^2x+23^x-1．
（2）由f（x）=7，可得 3^2x+23^x-1=7，即（3^x+4）（3^x-2）=0，求得 3^x=2，∴x=log₃2．

點評：本題主要考查復合函數(shù)的單調性，二次函數(shù)的性質，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．