Question

（2013•哈爾濱一模）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）
（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=5時(shí)，表達(dá)式中對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，即|x-1|+|x-5|-5＞0，分情況討論不等式的解集，最后取并集即可得到函數(shù)f（x）的定義域．
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，即不等式|x-1|+|x-5|＞a恒成立，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出左邊的最小值，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，要使函數(shù)f（x）有意義，
即不等式|x-1|+|x-5|-5＞0成立，------------------①
①當(dāng)x≤1時(shí)，不等式①等價(jià)于-2x+1＞0，解之得x＜

1

2

；
②當(dāng)1＜x≤5時(shí)，不等式①等價(jià)于-1＞0，無(wú)實(shí)數(shù)解；
③當(dāng)x＞5時(shí)，不等式①等價(jià)于2x-11＞0，解之得x＞

11

2

綜上所述，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，

1

2

）∪（

11

2

，+∞）．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
∴不等式|x-1|+|x-5|-a＞0恒成立，
∴只要a＜（|x-1|+|x-5|）_min即可，
又∵|x-1|+|x-5|≥|（x-1）+（x-5）|=4，（當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤5時(shí)取等號(hào)）
∴a＜（|x-1|+|x-5|）_min即a＜4，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有絕對(duì)值的對(duì)數(shù)形式的函數(shù)，求函數(shù)的定義域并討論不等式恒成立．著重考查了函數(shù)的定義域及其求法和絕對(duì)值不等式的解法與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．