Question

數(shù)列{a_n}的首項a₁=a，a_n+a_n+1=3n-54，n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設{a_n}的前n項和為S_n，若S_n的最小值為-243，求a的取值范圍？

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）可求a₂=-51-a，則a_n+1+a_n+2=3n-51，a_n+a_n+1=3n-54，兩式作差，得a_n+2-a_n=3，即奇數(shù)項成等差，偶數(shù)項成等差，分n為奇數(shù)、偶數(shù)可分別求出；
（2）分n為奇數(shù)、偶數(shù)求出S_n，然后利用二次函數(shù)性質可求得最值，根據(jù)已知條件可得a的不等式；

解答： 解：（1）a₁=a，a₂=-51-a，
又a_n+1+a_n+2=3n-51，a_n+a_n+1=3n-54，
則a_n+2-a_n=3，即奇數(shù)項成等差，偶數(shù)項成等差，
∴an=

3 2 (n-1)+a，n為奇數(shù) 3 2 n-a-54，n為偶數(shù)

；
（2）當n為偶數(shù)，即n=2k時：Sn=-51k+

k(k-1)

2

×6=3(k-9)2-243，
∴S_n≥S₁₈=-243；
當n為奇數(shù)，即n=2k-1時：Sn=S2k-a2k=3(k-

19

2

)2+a-216

3

4

，
∴S_n≥S₁₇=S₁₉=a-216，
∵（S_n）_min=-243，∴a-216≥-243，∴a≥-27．

點評：本題考查由遞推式求數(shù)列通項、等差數(shù)列是通項公式、數(shù)列求和及二次函數(shù)的性質，考查分類討論思想，考查學生的運算求解能力．