【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ax2+bx,(a,b∈R).
(1)設(shè)a=1,f(x)在x=1處的切線過點(2,6),求b的值;
(2)設(shè)b=a2+2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值;
(3)定義:一般的,設(shè)函數(shù)g(x)的定義域為D,若存在x0∈D,使g(x0)=x0成立,則稱x0為函數(shù)g(x)的不動點.設(shè)a>0,試問當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個不同的不動點時,這兩個不動點能否同時也是函數(shù)f(x)的極值點?
【答案】
(1)解:對f(x)進行求導(dǎo):f'(x)= +2ax+b
當(dāng)a=1時,f(x)=lnx+x2+bx,f'(x)= +2x+b
當(dāng)x=1時,f(1)=1+b,f'(1)=3+b
故切線方程為:y﹣(1+b)=(3+b)(x﹣1)
點(2,6)滿足切線方程,故b=
(2)解:由題意,f(x)=alnx+ax2+(a2+2)x,x>0
則:f'(x)= +2ax+a2+2=
當(dāng)a=0時,f(x)=2x,f'(x)=2>0,f(x)在[1,4]上為增函數(shù),故最大值為f(4)=8;
當(dāng)a>0時,f'(x)>0,f(x)在x>0上為增函數(shù),故最大值為f(4)=4a2+(16+ln4)a+8;
當(dāng)a<0時,令f'(x)=0,則導(dǎo)函數(shù)有兩個零點:x1=﹣ ,x2=﹣ .
(i)當(dāng)a< 時,∵ , ∴x1<x2,
f(x)在(0,﹣ ),(﹣ ,+∞)上單調(diào)遞減,在(﹣ ,﹣ )上單調(diào)遞增;
①當(dāng)﹣ < <1<4≤﹣ 時,即a≤﹣8,此時最大值為f(4)=4a2+(16+ln4)a+8;
②當(dāng)﹣ < <1<﹣ ≤4時,即﹣8≤a<﹣2,此時最大值為f(﹣ )=aln(﹣ )﹣ ﹣a;
③當(dāng) < < ≤1<4時,即﹣2≤a<﹣ ,此時最大值為f(1)=a2+a+2;
(ii)當(dāng)a=﹣ 時, ,f'(x)≤0,f(x)在[1,4]上單調(diào)遞減,最大值為f(1)=4﹣ ;
(iii)當(dāng)﹣ <a<0時, , ∴x1>x2
f(x)在(0,﹣ ),(﹣ ,+∞)上單調(diào)遞減,(﹣ ,﹣ )上單調(diào)遞增;
①當(dāng) 時,即 ≤a<0,最大值為f(4)=4a2+(16+ln4)a+8;
②當(dāng)﹣ < <1<﹣ ≤4時,即﹣1<a≤ ,最大值為f(﹣ )=aln(﹣ )﹣a﹣ ;
③當(dāng)﹣ < <﹣ ≤1<4時,即﹣ <a≤﹣1,最大值為f(1)=a2+a+2
(3)解:由題意知:f(x)=
由①②化簡后:alnx﹣a﹣ax2=x則說明 a(lnx﹣x2﹣1)=x 有兩個根;
∵a>0,x>0∴ =
即 y= 與 y=h(x)= 在(0,+∞)上有兩個不同交點.
h'(x)= ,令F(x)=2﹣x2﹣lnxF'(x)=﹣2x﹣ <0;
∴F(x)在x>0上單調(diào)遞減;
∵F(1)>0,F(xiàn)( )<0∴F(x)的零點為x0∈(1, ),
故F(x0)=0,即2﹣ ﹣lnx0=0lnx0=2﹣ ③;
所以,h(x)在(0,x0)單調(diào)遞減,(x0,+∞)上單調(diào)遞增;
h(x0)= = = ,h(x0)∈(﹣ ,﹣1);
故h(x)的圖形如右圖:
當(dāng) <0時即a<0,h(x)圖形與y= 圖形有兩個交點,與題設(shè)a>0
相互矛盾,故a不存在.
【解析】(1)由題意a=1,f(x)在x=1處的切線過點(2,6),利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的幾何性質(zhì)求解b的值;(2)b=a2+2,求函數(shù)f(x),求其導(dǎo)函數(shù),討論在區(qū)間[1,4]上的最大值;(3)根據(jù)函數(shù)g(x)的不動點新定義,求其f(x)定義域,當(dāng)a>0時,g(x0)=x0討論函數(shù)f(x)有兩個不同的不動點;同時求函數(shù)f(x)的極值點,即可知道兩個不動點能否同時也是函數(shù)f(x)的極值點.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=-x3+x2+b,g(x)=aln x.
(1)若f(x)在 上的最大值為,求實數(shù)b的值;
(2)若對任意x∈[1,e],都有g(shù)(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x),且當(dāng)x∈[﹣2,0]時,f(x)=( )x﹣6,若在區(qū)間(﹣2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有3個不同的實數(shù)根,求實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了調(diào)研學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績是否有關(guān)系,隨機抽取了189名學(xué)生進行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:在數(shù)學(xué)成績較好的94名學(xué)生中,有54名學(xué)生的物理成績較好,有40名學(xué)生的物理成績較差;在成績較差的95名學(xué)生中,有32名學(xué)生的物理成績較好,有63名學(xué)生的物理成績較差.根據(jù)以上的調(diào)查結(jié)果,利用獨立性檢驗的方法可知,約有________的把握認(rèn)為“學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績有關(guān)系”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
是否需要志愿 性別 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A(-2,1),B(a,3).
(1)若|z1-z2|=,求a的值;
(2)復(fù)數(shù)z=z1·z2對應(yīng)的點在第一、三象限的角平分線上,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察以下各等式:
tan 30°+tan 30°+tan 120°=tan 30°·tan 30°·tan 120°,
tan 60°+tan 60°+tan 60°=tan 60°·tan 60°·tan 60°,
tan 30°+tan 45°+tan 105°=tan 30°·tan 45°·tan 105°.
分析上述各式的共同特點,猜想出表示的一般規(guī)律,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax(a∈R),g(x)= (f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)),若方程g(f(x))=0有四個不等的實根,則a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知p:,q:.
(1)若p是q充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若“非p”是“非q”的充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍.
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