Question

（2012•邯鄲一模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與x軸的正半軸重合．直線l的參數(shù)方程為：

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）寫出C的直角坐標(biāo)方程，并指出C是什么曲線；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于P、Q兩點(diǎn)，求|PQ|值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由ρ=4cosθ可得ρ²=4ρcosθ，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=4，它是以（2，0）為圓心，半徑為2的圓．
（Ⅱ）把參數(shù)方程代入x²+y²=4x整理得t2-3

3

t+5=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得t1+t2=3

3

，t1t2=5，根據(jù) |PQ|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

求得結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）∵ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，（2分）
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x得：x²+y²=4x，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=4，…（4分）
它是以（2，0）為圓心，半徑為2的圓．…（5分）
（Ⅱ）把

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

代入x²+y²=4x整理得t2-3

3

t+5=0，…（7分）
設(shè)其兩根分別為t₁、t₂，則t1+t2=3

3

，t1t2=5，…（8分）
∴|PQ|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

7

．…（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．