設(shè)V是平面向量的集合，映射f：V→V滿足f(
a
)=
0
，
a
=
0
1
|
a
|
a
，
a
≠
0
.
，則對?
a
、
b
∈V，?λ∈R，下列結(jié)論恒成立的是（　�。�
A．f(
a
+
b
)=f(
a
)+f(
b
)		B．f（|
a
|•
a
+|
b
|
b
）=f[f（
a
）+f（
b
）]
C．f（|
a
|•
a
）=f（
a
）		D．f（|
b
|•
a
+|
a
|
b
）=f[f（
a
）+f（
b
）]
根據(jù)題意，映射f（
a
）的對應(yīng)法則是將零向量對應(yīng)到零向量，
將一個非零向量對應(yīng)到與之同向的單位向量，因此可得
對于A，若向量
a
、
b
是方向相反且模不相等的兩個非零向量，
則f(
a
+
b
)=
1
|
a
+
b
|
(
a
+
b
)≠
0
，且f(
a
)+f(
b
)=
1
|
a
|
a
+
1
|
b
|
b
=
0
，
所以f(
a
+
b
)≠f(
a
)+f(
b
)，得A項不正確；
對于B，若向量
a
、
b
是方向相反且模不相等的兩個非零向量，則|
a
|•
a
+|
b
|
b
不是零向量，
可得f（|
a
|•
a
+|
b
|
b
）=
1
||
a
|•
a
+|
b
|•
b
|
(|
a
|•
a
+
|b|
•
b
)≠
0

而f[f（
a
）+f（
b
）]=f（
0
）=
0
，故f（|
a
|•
a
+|
b
|
b
）≠f[f（
a
）+f（
b
）]，可得B項不正確；
對于C，若
a
=
0
，則f（|
a
|•
a
）=f（
a
）=
0
；
若
a
≠
0
，則f（|
a
|•
a
）=
1
|
a
|
a
且f（
a
）=
1
|
a
|
a
，得f（|
a
|•
a
）=f（
a
）
由以上的分析，可得對任意向量
a
，均有f（|
a
|•
a
）=f（
a
）成立，故C項正確；
對于D，若向量
a
=
0
且
b
≠
0
，則f（|
b
|•
a
+|
a
|
b
）=f（
0
）=
0

而f[f（
a
）+f（
b
）]=f[
0
+
1
|
b
|
•
b
）=
1
|
b
|
•
b
≠
0
，
因此，f（|
b
|•
a
+|
a
|
b
）≠f[f（
a
）+f（
b
）]，可得D項不正確
故選：C
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射f：V→R滿足：對任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λa+（1-λ）b）=λf（a）+（1-λ）f（b）則稱映射f具有性質(zhì)P．先給出如下映射：
①f1：V→R，f1（m）=x-y，m=（x，y）∈V；
②f2：V→R，f2（m）=x2+y，m=（x，y）∈V；
③f3：V→R，f3（m）=x+y+1，m=（x，y）∈V．
其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為
 
．（寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合．若映射f：V→R滿足：對任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λa+（1-λ）b）=λf（a）+（1-λ）f（b），則稱映射f具有性質(zhì)P．現(xiàn)給出如下映射：
①f1：V→R，f1（m）=x+y+1，m=（x，y）∈V；
②f2：V→R，f2（m）=x-y，m=（x，y）∈V；
③f3：V→R，f3（m）=x2+y，m=（x，y）∈V．
其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為
（2）
（2）
．（寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江門一模）設(shè)V是平面向量的集合，映射f：V→V滿足f(
a
)=
0
，
a
=
0
1
|
a
|
a
，
a
≠
0
.
，則對?
a
、
b
∈V，?λ∈R，下列結(jié)論恒成立的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年廣東省江門市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

設(shè)V是平面向量的集合，映射f：V→V滿足，則對、，?λ∈R，下列結(jié)論恒成立的是（ ）
A．
B．f=f[f（）+f（）]
C．f=f（）
D．f=f[f（）+f（）]

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