Question

17．已知：平行四邊形ABCD中，∠DAB=45°，AB=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{2}$，平面AED⊥平面ABCD，△AED為等邊三角形，EF∥AB，EF=$\sqrt{2}$，M為線段BC的中點．
（1）求證：直線MF∥平面BED；
（2）求證：平面BED⊥平面EAD；
（3）求直線BF與平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BD的中點G，連結MG，EG，通過證明四邊形EFMG是平行四邊形得出MF∥EG，從而有MF∥平面BED；
（2）取AD中點O，則OE⊥AD，根據(jù)面面垂直和線面垂直的性質(zhì)得出OE⊥BD，利用勾股定理逆定理證明BD⊥AD，于是BD⊥平面ADE，從而平面BED⊥平面EAD；
（3）以O為原點建立空間坐標系，求出平面BED的法向量，通過計算法向量與$\overrightarrow{BF}$的夾角得出直線BF與平面BED所成角．

解答 證明：（1）取BD的中點G，連結MG，EG，
∵M為線段BC的中點，G是BD的中點，
∵MG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，又CD$\stackrel{∥}{=}AB$，EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$GM，
∴四邊形EFMG是平行四邊形，
∴MF∥EG，
又MF?平面BED，EG?平面BED，
∴MF∥平面BED．
（2）取AD中點O，連結EO，則OE⊥AD，
∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，OE?平面ADE，OE⊥AD，
∴OE⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，
∴OE⊥BD，
∵AB=2$\sqrt{2}$，AD=2，∠BAD=45°，
∴BD=$\sqrt{8+4-2×2\sqrt{2}×2cos45°}$=2，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
又AD?平面ADE，OE?平面ADE，AD∩OE=O，
∴BD⊥平面ADE，又BD?平面BDE，
∴平面BED⊥平面EAD．
解：（3）過O作ON⊥AB，垂足為N，則ON⊥OM，
以O為原點，以ON，OM，OE為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
則E（0，0，$\sqrt{3}$），G（0，$\sqrt{2}$，0），B（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0），F(xiàn)（0，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{GE}$=（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$），
設平面BDE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}-\frac{3\sqrt{2}}{2}{y}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{-\sqrt{2}{y}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，令y₁=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
設直線BF與平面BED所成角為α，則sinα=|cos＜$\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴直線BF與平面BED所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，空間向量與空間角的計算，屬于中檔題．