Question

5．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩條漸近線與直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$分別交于A，B兩點，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點，若90°＜∠AFB＜120°，則該雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• C． （1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
• D． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 確定雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩條漸近線方程，求得A，B的坐標，利用90°＜∠AFB＜120°，可得1＜k_FB＜$\sqrt{3}$，
運用兩點的斜率公式和a，b，c的關(guān)系，由此可求雙曲線的離心率的取值范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩條漸近線的兩條漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
x=$\frac{{a}^{2}}{c}$時，y=±$\frac{ab}{c}$，
∴A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），B（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
∵90°＜∠AFB＜120°，F(xiàn)（c，0），
由對稱性可得tan45°＜k_FB＜tan60°，
即有1＜$\frac{\frac{ab}{c}}{c-\frac{{a}^{2}}{c}}$＜$\sqrt{3}$，
即為1＜$\frac{a}$＜$\sqrt{3}$，
而e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率的求法，考查學(xué)生的計算能力，正確尋找?guī)缀瘟恐�間的關(guān)系是關(guān)鍵．