Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）當x＞y＞e-1時，求證：ex-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，由此進行分類討論，能求出函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)．
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，知a=1，故f(x)≥bx-2?1+

1

x

-

lnx

x

≥b，由此能求出實數(shù)b的取值范圍．
（Ⅲ）由ex-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

?

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，令g(x)=

ex

ln(x+1)

，則只要證明g（x）在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增，由此能夠證明ex-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，
當a≤0時，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴f（x）在（0，+∞）上沒有極值點；
當a＞0時，f'（x）＜0得0＜x＜

1

a

，f'（x）＞0得x＞

1

a

，
∴f（x）在(0，

1

a

)上遞減，在(

1

a

，+∞)上遞增，
即f（x）在x=

1

a

處有極小值．
∴當a≤0時f（x）在（0，+∞）上沒有極值點，
當a＞0時，f（x）在（0，+∞）上有一個極值點．（4分）
（注：分類討論少一個扣一分．）
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴a=1，…（5分）
∴f(x)≥bx-2?1+

1

x

-

lnx

x

≥b，…（6分）
令g(x)=1+

1

x

-

lnx

x

，可得g（x）在（0，e²]上遞減，在[e²，+∞）上遞增，…（8分）
∴g(x)min=g(e2)=1-

1

e2

，即b≤1-

1

e2

．（9分）
（Ⅲ）證明：ex-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

?

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，（10分）
令g(x)=

ex

ln(x+1)

，
則只要證明g（x）在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵g′(x)=

ex[ln(x+1)- 1 x+1 ]

ln2(x+1)

，
顯然函數(shù)h(x)=ln(x+1)-

1

x+1

在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增．（12分）
∴h(x)＞1-

1

e

＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增，
即

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，
∴當x＞y＞e-1時，有ex-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

．（14分）

點評：本題考查函數(shù)的求極值點的個數(shù)的求法，考查滿足條件的實數(shù)的求法，考查不等式的證明．解題時要合理運用導數(shù)性質(zhì)，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的靈活運用．