Question

9．設(shè)函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）探究函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．

Answer 1

分析 （1）由解析式求出函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)f（-x）后由函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；
（2）先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$是奇函數(shù)，
函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$的定義域是{x|x≠0}，
因?yàn)?f（-x）=-x-\frac{1}{x}$=-f（x），
所以函數(shù)f（x）數(shù)奇函數(shù)；
（2）函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$在[1，+∞）上是增函數(shù)，
證明：設(shè)x₁＞x₂≥1，
則f（x₁）-f（x₂）=${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}$-（${x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+$\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＞x₂≥1，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0，
∴$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}＞$0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$在[1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷以及證明，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．