Question

1．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，觀察程序框圖
（1）若輸入的a₁=1，d=1，k=3時(shí)，求輸出的S的值
（2）寫(xiě)出k=4時(shí)，S的表達(dá)式（用a₁，a₂，a₃，a₄，a₅表示）
（3）若輸入k=5，k=10時(shí)，分別有$S=\frac{5}{11}$和$S=\frac{10}{21}$．試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

分析 模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，得出該程序運(yùn)行后輸出的S是什么，
然后對(duì)（1）中的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，寫(xiě)出（2）k=4時(shí)S的表達(dá)式；
（3）中，由S的表達(dá)式，列出方程組求出a₁和d，即可求出a_n．

解答 解：（1）a₁=1，d=1，k=3時(shí)，
$S=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$；
（2）k=4時(shí)，$S=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+\frac{1}{{{a_4}{a_5}}}$；
（3）由程序框圖知，S=$\frac{1}{a1a2}$+$\frac{1}{a2a3}$+…+$\frac{1}{akak+1}$，
∵數(shù)列{a_n} 是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則有$\frac{1}{akak+1}$=$\frac{1}nc7fxon$（$\frac{1}{ak}$-$\frac{1}{ak+1}$），
∴S=$\frac{1}d7ihg7s$（$\frac{1}{a1}$-$\frac{1}{a2}$+$\frac{1}{a2}$-$\frac{1}{a3}$+…+$\frac{1}{ak}$-$\frac{1}{ak+1}$）=$\frac{1}e2cqe24$（$\frac{1}{a1}$-$\frac{1}{ak+1}$）；
k=5時(shí)，S=$\frac{5}{11}$；k=10時(shí)，S=$\frac{10}{21}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}iphvjp2（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{6}}）=\frac{5}{11}}\\{\frac{1}kvyed7a（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{11}}）=\frac{10}{21}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{d=-2}\end{array}\right.$（舍去）；
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)列求和的應(yīng)用問(wèn)題，考查了方程組的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．