Question

3．設|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，且|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角大小為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知條件對$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|=\sqrt{5}$兩邊平方便可得到$1-4\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞+8=5$，這樣即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$，根據(jù)向量夾角的范圍即可得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角的大�。�

解答 解：根據(jù)條件：$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}=5$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}$=$1-4\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞+8=5$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{π}{4}$；
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的大小為$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 考查數(shù)量積的運算，及數(shù)量積的計算公式，向量夾角的概念及其范圍．