Question

14．函數(shù)$y=2x+\sqrt{1-2x}$的值域為（-∞，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 函數(shù)解析式中有根號，從而可想著換元去根號：令$\sqrt{1-2x}=t$，t≥0，這樣即可將原函數(shù)變成二次函數(shù)y=-t²+t+1，求其對稱軸，便可求出該函數(shù)在[0，+∞）上的最大值，且容易知道函數(shù)值y趨向于負無窮，這樣即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：令$\sqrt{1-2x}=t$，t≥0，則2x=1-t²；
∴原函數(shù)變成：y=-t²+t+1，t≥0；
二次函數(shù)y=-t²+t+1的對稱軸為t=$\frac{1}{2}$；
∴$t=\frac{1}{2}$時該函數(shù)取最大值$\frac{5}{4}$；
∴$y≤\frac{5}{4}$；
即原函數(shù)的值域為（-∞，$\frac{5}{4}$]．
故答案為：$（-∞，\frac{5}{4}]$．

點評 考查值域的概念，含根號函數(shù)的處理方法：換元去根號，注意換元后變量的范圍，二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的最值，及二次函數(shù)值域的求法，要熟悉二次函數(shù)的圖象．