【題目】為了迎接2019年全國文明城市評比,某市文明辦對市民進(jìn)行了一次文明創(chuàng)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.每一位市民有且僅有一次參加機(jī)會(huì),通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示:
組別 | |||||||
頻數(shù) | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表),請利用正態(tài)分布的知識(shí)求;
(2)在(1)的條件下,文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:
(i)得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi);
(ii)每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為:
獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)(單位:元) | 20 | 40 |
概率 |
現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:①;
②若,則,,.
【答案】(Ⅰ)P(36<Z≤79.5)=0.8186;
(Ⅱ)X的分布列為
X | 20 | 40 | 60 | 80 |
P |
X的數(shù)學(xué)期望為.
【解析】
(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表,利用公式求得其平均數(shù),即正態(tài)分布對應(yīng)的,再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,,利用題中所給的數(shù)據(jù),以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對稱性,求得對應(yīng)的概率;
(2)根據(jù)題意,高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各占一半,再結(jié)合得20、40元的概率,分析得出話費(fèi)的可能數(shù)據(jù)都有哪些,再利用公式求得對應(yīng)的概率,進(jìn)而列出分布列,之后應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的分布列求得其期望.
(Ⅰ)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表,結(jié)合題中所給的條件,可以求得
,
又,,
所以P(36<Z≤79.5);
(Ⅱ)根據(jù)題意,可以得出所得話費(fèi)的可能值有元,
得20元的情況為低于平均值,概率,
得40分的情況有一次機(jī)會(huì)獲40元,2次機(jī)會(huì)2個(gè)20元,概率,
得60分的情況為兩次機(jī)會(huì),一次40元一次20元,概率,
得80分的其概況為兩次機(jī)會(huì),都是40元,概率為,
所以變量X的分布列為:
X | 20 | 40 | 60 | 80 |
P |
所以其期望為.
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(1)若直線與軸交于,且,求直線的方程;
(2)設(shè)直線,的斜率分別是,,求的值;
(3)設(shè)的中點(diǎn)為,點(diǎn),若,求的面積.
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(1)問該機(jī)器投入生產(chǎn)第幾年,工廠開始盈利(即總收入大于所有投人的費(fèi)用)?
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