Question

3．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≥2-|x+1|；
（2）若對于x，y∈R，有$|{x-y-1}|≤\frac{1}{3}$，$|{2y+1}|≤\frac{1}{6}$，求證：f（x）＜1．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，解不等式，取并集即可；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（1）不等式化為|x+1|+|2x-1|≥2，
①當(dāng)$x≥\frac{1}{2}$時，不等式為3x≥2，解得$x≥\frac{2}{3}$，故$x≥\frac{2}{3}$；
②當(dāng)$-1≤x＜\frac{1}{2}$時，不等式為2-x≥2，解得x≤0，故-1≤x≤0；
③當(dāng)x＜-1時，不等式為-3x≥2，解得$x≤-\frac{2}{3}$，故x＜-1，
綜上，原不等式的解集為$\left\{{x|x≤0或x≥\frac{2}{3}}\right\}$；
（2）證明：f（x）=|2x-1|=|2（x-y-1）+（2y+1|≤2|x-y-1|+|2y+1|≤2×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$＜1．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查不等式的性質(zhì)以及分類討論思想，是一道中檔題．