Question

求下列函數(shù)的值域．
（1）y=x²+2x  （x∈[0，3]）；
（2）y=

x-3

x+1

 （x∈（-1，2]）
（3）y=x-

1-2x

．

Answer 1

分析：（1）由已知得，函數(shù)在[0，3]上單調(diào)遞增，故當x=0時，y_min=0，當x=3時，y_max=15，進而可得值域；
（2）函數(shù)可化為y=

x+1-4

x+1

=1-

4

x+1

，當x∈（-1，2]時，函數(shù)為增函數(shù)，當x=2時，y_max=-

1

3

，可得答案；
（3）換元令t=

1-2x

，則t≥0，且x=

1-t2

2

，故y=

1-t2

2

-t=

-(t+1)2+2

2

，同（1）由二次函數(shù)的知識可得值域．

解答：解：（1）y=x²+2x=（x+1）²-1，其圖象為開口向上的拋物線，
對稱軸為直線x=-1，又x∈[0，3]，故函數(shù)在[0，3]上單調(diào)遞增，
故當x=0時，y_min=0，當x=3時，y_max=15，
故函數(shù)的值域為：[0，15]；   （5分）
（2）函數(shù)y=

x-3

x+1

=

x+1-4

x+1

=1-

4

x+1

，當x∈（-1，2]時，
函數(shù)為增函數(shù)，當x=2時，y_max=-

1

3

，
故函數(shù)的值域為：(-∞，-

1

3

]；    （10分）
（3）令t=

1-2x

，則t≥0，且x=

1-t2

2

，
故y=

1-t2

2

-t=

-(t+1)2+2

2

，
其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為直線t=-1，
故函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
當t=0時，y_max=

1

2

，
故函數(shù)的值域為：(-∞，

1

2

]     （15分）

點評：本題考查函數(shù)值域的求解，注意函數(shù)的單調(diào)性和定義域是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．