如圖,線段MN的兩個端點(diǎn)M、N分別在x軸、y軸上滑動,|MN|=5,點(diǎn)P是線段MN上一點(diǎn),且
MP
=
2
3
PN
,點(diǎn)P隨線段MN的運(yùn)動而變化.
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)(2,0)作直線l,與曲線C交于A、B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)
OS
=
OA
+
OB
,是否存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,試說明理由.
(1)設(shè)M(x0,0),N(0,y0),P(x,y)因為|MN|=5,所以x02+y02=25(*)
又點(diǎn)P是MN上一點(diǎn),且|MP|=2,所以P分
MN
所成的比為
2
3

x=
x0+
2
3
×0
1+
2
3
=
3
5
x0
y=
0+
2
3
×y0
1+
2
3
=
2
5
y0
x0=
5
3
x
y0=
5
2
y

將其代入(*)得
x2
9
+
y2
4
=1
即為所求的方程
(2)
OS
=
OA
+
OB
,所以四邊形OASB為平行四邊形,若存在l使得|
OS
|=|
AB
|,則四邊形OASB為矩形
OA
OB
=0
若l的斜率不存在,直線l的方程為x=2,由
x=2
x2
9
+
y2
4
=1
x=2
y=±
2
5
3

OA
OB
=
16
9
>0,與
OA
OB
=0
矛盾,故l的斜率存在.
設(shè)l的方程為y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2
y=k(x-2)
x2
9
+
y2
4
=1
⇒(9k2+4)x2-36k2x+36(k2-1)=0

x1+x2=
36k2
9k2+4
x1x2=
36(k2-1)
9k2+4

y1y2=[k(x1-2)][k(x2-2)]=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-
20k2
9k2+4

把①、②代入x1x2+y1y2=0得k=±
3
2

∴存在直線l:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四邊形OASB的對角線相等
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知雙曲線
x2
m
-
y2
n
=1
(mn≠0)的離心率為2,有一個焦點(diǎn)恰好是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),則此雙曲線的漸近線方程是( 。
A.
3
x±y=0
B.
3
y=0
C.3x±y=0D.x±3y=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓E:
x2
4
+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,圓x2+y2=4上有一動點(diǎn)P,P在x軸上方,C(1,0),直線PA交橢圓E于點(diǎn)D,連結(jié)DC,PB.
(Ⅰ)若∠ADC=90°,求△ADC的面積S;
(Ⅱ)設(shè)直線PB,DC的斜率存在且分別為k1,k2,若k1=2k2,求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

直線l與雙曲線
x2
2
-y2=1
的同一支相交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)在直線y=2x上,則直線AB的斜率為( 。
A.4B.2C.
1
2
D.
1
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)和圓C2:x2+y2=b2,已知圓C2將橢圓C1的長軸三等分,橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
2
4
,橢圓C1的下頂點(diǎn)為E,過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A、B.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個交點(diǎn)為點(diǎn)P、M.
①求證:直線MP經(jīng)過一定點(diǎn);
②試問:是否存在以(m,0)為圓心,
3
2
5
為半徑的圓G,使得直線PM和直線AB都與圓G相交?若存在,請求出所有m的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

過點(diǎn)A(0,2)可以作 ______條直線與雙曲線x2-
y2
4
=1
有且只有一個公共點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)F內(nèi)分成了3:1的兩段.
(1)求橢圓的離心率;
(2)過點(diǎn)C(-1,0)的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B,且
AC
=2
CB
,當(dāng)△AOB的面積最大時,求直線l和橢圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知兩點(diǎn)F′(-2,0),F(xiàn)(2,0),點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn),且滿足|
F′F
||
FP
|+
F′F
F′P
=0

(1)求動點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)F的直線l與軌跡C和⊙F:(x-2)2+y2=1交于四點(diǎn),自下而上依次記這四點(diǎn)為A、B、C、D,求
AB
CD
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓C1
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)的上下焦點(diǎn),其F1是拋物線C2:x2=4y的焦點(diǎn),點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn),且|MF2|=
3
5

(1)試求橢圓C1的方程;
(2)與圓x2+(y+1)2=1相切的直線l:y=k(x+t)(t≠0)交橢圓于A,B兩點(diǎn),若橢圓上一點(diǎn)P滿足
OA
+
OB
OP
,求實數(shù)λ的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案