如圖，線段MN的兩個端點M、N分別在x軸、y軸上滑動，|MN|=5，點P是線段MN上一點，且
MP
=
2
3
PN
，點P隨線段MN的運動而變化．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）過點（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設(shè)
OS
=
OA
+
OB
，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．
（1）設(shè)M（x0，0），N（0，y0），P（x，y）因為|MN|=5，所以x02+y02=25（*）
又點P是MN上一點，且|MP|=2，所以P分
MN
所成的比為
2
3

∴
x=
x0+
2
3
×0
1+
2
3
=
3
5
x0
y=
0+
2
3
×y0
1+
2
3
=
2
5
y0
∴
x0=
5
3
x
y0=
5
2
y

將其代入（*）得
x2
9
+
y2
4
=1即為所求的方程
（2）
OS
=
OA
+
OB
，所以四邊形OASB為平行四邊形，若存在l使得|
OS
|=|
AB
|，則四邊形OASB為矩形
∴
OA
•
OB
=0若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由
x=2
x2
9
+
y2
4
=1
得
x=2
y=±
2
5
3

∴
OA
•
OB
=
16
9
＞0，與
OA
•
OB
=0矛盾，故l的斜率存在．
設(shè)l的方程為y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2）由
y=k(x-2)
x2
9
+
y2
4
=1
⇒(9k2+4)x2-36k2x+36(k2-1)=0
∴x1+x2=
36k2
9k2+4
，x1x2=
36(k2-1)
9k2+4
①
y1y2=[k（x1-2）][k（x2-2）]=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-
20k2
9k2+4
②
把①、②代入x1x2+y1y2=0得k=±
3
2

∴存在直線l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四邊形OASB的對角線相等
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線
x2
m
-
y2
n
=1（mn≠0）的離心率為2，有一個焦點恰好是拋物線y2=4x的焦點，則此雙曲線的漸近線方程是（　�。�
A．
3
x±y=0		B．x±
3
y=0		C．3x±y=0D．x±3y=0

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
4
+y2=1的左、右頂點分別為A、B，圓x2+y2=4上有一動點P，P在x軸上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點D，連結(jié)DC，PB．
（Ⅰ）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S；
（Ⅱ）設(shè)直線PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=2k2，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

直線l與雙曲線
x2
2
-y2=1的同一支相交于A，B兩點，線段AB的中點在直線y=2x上，則直線AB的斜率為（　　）
A．4B．2C．
1
2
D．
1
4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長軸三等分，橢圓C1右焦點到右準線的距離為
2
4
，橢圓C1的下頂點為E，過坐標原點O且與坐標軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點A、B．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個交點為點P、M．
①求證：直線MP經(jīng)過一定點；
②試問：是否存在以（m，0）為圓心，
3
2
5
為半徑的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交？若存在，請求出所有m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

過點A（0，2）可以作 ______條直線與雙曲線x2-
y2
4
=1有且只有一個公共點．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點F內(nèi)分成了3：1的兩段．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過點C（-1，0）的直線l交橢圓于不同兩點A、B，且
AC
=2
CB
，當△AOB的面積最大時，求直線l和橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知兩點F′（-2，0），F(xiàn)（2，0），點P為坐標平面內(nèi)的動點，且滿足|
F′F
||
FP
|+
F′F
•
F′P
=0．
（1）求動點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線l與軌跡C和⊙F：（x-2）2+y2=1交于四點，自下而上依次記這四點為A、B、C、D，求
AB
•
CD
的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的上下焦點，其F1是拋物線C2：x2=4y的焦點，點M是C1與C2在第二象限的交點，且|MF2|=
3
5
．
（1）試求橢圓C1的方程；
（2）與圓x2+（y+1）2=1相切的直線l：y=k（x+t）（t≠0）交橢圓于A，B兩點，若橢圓上一點P滿足
OA
+
OB
=λ
OP
，求實數(shù)λ的取值范圍．

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