若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)F內(nèi)分成了3：1的兩段．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過點(diǎn)C（-1，0）的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，且
AC
=2
CB
，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求直線l和橢圓的方程．
（1）由題意知，c+
b
2
=3（c-
b
2
），…（2分）
∴b=c，
∴a2=2b2，…（3分）
∴e=
c
a
=
1-(
b
a
)2
=
2
2
．…（5分）
（2）設(shè)直線l：x=ky-x，A（x1，y1），B（x2，y2），
∵
AC
=2
CB
，
∴（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2），即2y2+y1=0，①…（7分）
由（1）知，a2=2b2，∴橢圓方程為x2+2y2=2b2，
由
x=ky-1
x2+2y2=2b2
，消去x，得（k2+2）y2-2ky+1-2b2=0，
∴y1+y2=
2k
k2+2
，…②
y1y2=
1-2b2
k2+2
，…③
由①②知，y2=-
2k
k2+2
，y1=
4k
k2+2
，…（9分）
∵S△AOB=
1
2
|y1|+
1
2
|y2|=
1
2
|y1-y2|，
∴S=3•
|k|
k2+2
=3•
1
2
|k|
+k
≤3•
1
2
2
|k|
•|k|
=
3
2
4
，…（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)|k|2=2，即k=±
2
時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)直線的方程為x=
2
y-1或x=
2
y-1．…（12分）
又當(dāng)|k|2=2時(shí)，y1y2=
-2k
k2+2
•
4k
k2+2
=-
2k2
(k2+2)2
=-1，
∴由y1y2=
1-2b2
k2+2
，得b2=
5
2
，
∴橢圓方程為
x2
5
+
y2
5
2
=1．…（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與直線x+y-1=0相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的半焦距c=
3
，直線x=±a與y=±b圍成的矩形ABCD的面積為8，求橢圓的方程；
（2）若O（
OA
•
OB
=0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：
1
a2
+
1
b2
=2；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率e滿足
3
3
≤e≤
2
2
，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，且
|CD|
|ST|
=2
2
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓E相交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)P為橢圓E上一點(diǎn)，且滿足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，線段MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，|MN|=5，點(diǎn)P是線段MN上一點(diǎn)，且
MP
=
2
3
PN
，點(diǎn)P隨線段MN的運(yùn)動(dòng)而變化．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)
OS
=
OA
+
OB
，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對(duì)角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它們所表示的曲線可能是（　　）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，
q
2
)，且離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)G(
1
8
，0)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y=±
3
x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且
OP
⊥
OQ
，求|OP|2+|OQ|2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，
MA1
=2
A1F1
．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M的直線l'與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，若
OC
•
OD
=0，求直線l'的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=
7
2
，
PF1
•
PF2
=
3
4
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過F1的直線L與該橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且|
F1M
|=2|
F1N
|，求直線L的方程．

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