Question

已知數列{a_n}中，a₁≠0，2a_n=a₁（1+S_n）（n∈N^*），S_n為數列{a_n}的前n項和．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設b_n=

n

an

，求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出a₁=1，2a_n-2a_n-1=（1+S_n）-（1+S_n-1）=a_n，從而得到{a_n}是首項a₁=1、公比q=2等比數列，由此求出an=2n-1．
（2）由（1）得bn=

n

2n-1

，由此利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）當n=1時，2a₁=a₁（1+S₁）=a₁（1+a₁），
∵a₁≠0，∴a₁=1，
當n＞1時，則2a_n=1+S_n，
∴2a_n-2a_n-1=（1+S_n）-（1+S_n-1）=a_n，
∴a_n=2a_n-1，∴{a_n}是首項a₁=1、公比q=2等比數列，
∴an=2n-1．…（6分）
（2）由（1）得an=2n-1，
∴bn=

n

2n-1

，…（7分）
∴Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=

1

20

+

2

21

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，①
∴

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，②…（9分）
1-②得 

1

2

Tn=

1

20

+

1

21

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2×(1-

1

2n

)-

n

2n

2，…（10分）
∴Tn=4-

n+2

2n-1

．…（12分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．