Question

F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OF₁為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，若三角形PF₁F₂的面積為3a²，則雙曲線離心率為（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  6

  2

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先設(shè)F₁F₂=2c，由題意知△F₁F₂P是直角三角形，進(jìn)而在RT△PF₁F₂中結(jié)合雙曲線的定義和△PF₁F₂的面積，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求得a，c之間的關(guān)系，則雙曲線的離心率可得．

解答： 解：設(shè)F₁F₂=2c，由題意知△F₁F₂P是直角三角形，
∴F₁P²+F₂P²=F₁F₂²，
又根據(jù)雙曲線的定義得：F₁P-F₂P=2a，
平方得：F₁P²+F₂P²-2F₁P×F₂P=4a²
 從而得出F₁F₂²-2F₁P×F₂P=4a²
∴F₁P×F₂P=2（c²-a²）
又△PF₁F₂的面積等于3a²
即

1

2

F₁P×F₂P=3a²
2（c²-a²）=6a²
∴c=2a，
∴雙曲線的離心率e=

c

a

=2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用．屬基礎(chǔ)題．