Question

3．已知（$\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比56：3．
（Ⅰ）求展開式中常數(shù)項(xiàng)；
（Ⅱ）當(dāng)x=4時(shí)，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用（$\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比56：3，求出n，再求展開式中常數(shù)項(xiàng)；
（Ⅱ）當(dāng)x=4時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T₆，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵（$\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比56：3，
∴$\frac{{C}_{n}^{4}•{2}^{4}}{{C}_{n}^{2}•{2}^{2}}$=$\frac{56}{3}$，
∴n=10，
∵通項(xiàng)為${C}_{10}^{r}•{2}^{r}•{x}^{\frac{10-5r}{2}}$，
∴令$\frac{10-5r}{2}$=0，可得r=2，
∴展開式中常數(shù)項(xiàng)為${C}_{10}^{2}•{2}^{2}$=180；
（Ⅱ）當(dāng)x=4時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為${C}_{10}^{5}•{2}^{5}•{4}^{-\frac{15}{2}}$=$\frac{63}{256}$．

點(diǎn)評 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用二項(xiàng)式定理是關(guān)鍵．