Question

12．已知數(shù)列{a_n}：$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{1}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{3}{1}$，…$\frac{1}{k}$，$\frac{2}{k-1}$，$\frac{3}{k-2}$，…，$\frac{k}{1}$，…，則：
（1）在這個(gè)數(shù)列中，若a_n是第3個(gè)值等于1的項(xiàng)，則n=13；
（2）a₂₀₁₅=31．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合規(guī)律$\frac{1}{k}$，$\frac{2}{k-1}$，$\frac{3}{k-2}$，…，$\frac{k}{1}$得：第3個(gè)值等于1的項(xiàng)a_n=$\frac{3}{3}$，進(jìn)而求出n的值；
（2）將數(shù)列分組：$\frac{1}{1}$，（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{1}$），（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{3}{1}$），…，（$\frac{1}{k}$，$\frac{2}{k-1}$，$\frac{3}{k-2}$，…，）$\frac{k}{1}$，…，根據(jù)數(shù)列的規(guī)律和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出第2015項(xiàng)的值．

解答 解：（1）若a_n是第3個(gè)值等于1的項(xiàng)，則a_n=$\frac{3}{3}$，求得n=1+2+3+4+3=13；
故答案是：13；
（2）：（1）將數(shù)列分組：$\frac{1}{1}$，（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{1}$），（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{3}{1}$），…，（$\frac{1}{k}$，$\frac{2}{k-1}$，$\frac{3}{k-2}$，…）$\frac{k}{1}$，…，
因?yàn)?+2+3+…+62=1953，1+2+3+…+63=2016，
所以數(shù)列的第2015項(xiàng)屬于第63組倒數(shù)第1個(gè)數(shù)，即為$\frac{62}{2}$=31；
故答案是：31．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化，有一定的難度，找到分子分母的和與分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)的關(guān)系，以及分子分母的和為偶數(shù)的項(xiàng)中，有一個(gè)值等于1的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．