如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，過點P（2，0）的直線l交拋物線y2=2x于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點．
（1）求x1x2與y1 y2的值；
（2）以線段MN為直徑作圓H（H為圓心），證明拋物線的頂點在圓H的圓周上．
分析：（1）先設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程消去x可得y2-2my-4=0，再根據(jù)點M，N的縱坐標(biāo)y1與y2是上述方程的根，可求出
y1 y2的值；最后根據(jù)M（x1，y1），N（x2，y2）兩點是拋物線上的點代入再結(jié)合上面求的結(jié)論即可求出求x1x2的值；
（2）設(shè)直線OM，ON斜率分別為k1，k2，求出k1•k2=
y1•y2
x1•x2
=
-4
4
=-1即可證明結(jié)論．
解答：解：（1）因為直線l不可能是X軸，所以設(shè)l的方程為x=my+2，
將其代入y2=2x，消去x可得y2-2my-4=0，
點M，N的縱坐標(biāo)y1與y2是上述方程的根，故y1•y2=-4．
由y12=2x1，y22=2x2，相乘得（y1y2）2=4x1x2，
所以x1•x2=
(y1y2)2
4
=4．
（2）證明：直線OM，ON斜率分別為k1，k2，
則k1=
y1
x1
，k2=
y2
x2
．
因此k1•k2=
y1•y2
x1•x2
=
-4
4
=-1．
所以O(shè)M⊥ON．
所以拋物線的頂點O在圓H的圓周上．
點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題以及直線與圓的綜合問題．考查考學(xué)分析問題和解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•杭州二模）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，銳角△ABC內(nèi)接于圓x2+y2=1．已知BC平行于x軸，AB所在直線方程為y=kx+m（k＞0），記角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．
（1）若3k=
2ac
a2+c2-b2
，求cos2
A+C
2
+sin2B的值；
（2）若k=2，記∠xOA=α(0＜α＜
π
2
)，∠xOB=β(π＜β＜
3π
2
)，求sin(α+β)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系中，中心在原點，焦點在X軸上的橢圓G的離心率為e=
15
4
，左頂點A（-4，0），圓O'：（x-2）2+y2=r2是橢圓G的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓．
（Ⅰ） 求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求圓O'的半徑r；
（Ⅲ）過M（0，1）作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點，判斷直線EF與圓O'的位置關(guān)系，并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•石景山區(qū)二模）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點是原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點A，且α∈(
π
6
，
π
2
)．將角α的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)
π
3
，交單位圓于點B．記A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
3
，求x2；
（Ⅱ）分別過A，B作x軸的垂線，垂足依次為C，D．記△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2．若S1=2S2，求角α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點是原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點A，且α∈(
π
3
，
π
2
)．將角α的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)
π
6
，交單位圓于點B．記A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
4
，求x2； 
（Ⅱ）分別過A，B作x軸的垂線，垂足依次為C，D．記△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2．若S1=S2，求角α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知射線OA：x-y=0（x≥0），OB：
3
x+3y=0（x≥0），過點P（a，0）（a＞0）作直線l分別交射線OA，OB于A，B兩點，且
AP
=2
PB
，則直線l的斜率為
 
．

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