Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的短軸長(zhǎng)為直徑作圓O，截直線(xiàn)AB的弦長(zhǎng)為$\frac{6\sqrt{7}}{7}$（a²-b²）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l，與橢圓C相交于G、H兩點(diǎn)，使得△AFG與△AFH的面積比為1：2？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直線(xiàn)AB的方程為：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，化為：bx-ay-ab=0，可得$\sqrt{^{2}-（\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$（a²-b²）．又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．聯(lián)立解出即可得出．
（2）如圖所示，假設(shè)存在過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l，與橢圓C相交于G、H兩點(diǎn)，使得△AFG與△AFH的面積比為1：2．可得$\frac{|FG|}{|FH|}$=$\frac{1}{2}$．設(shè)直線(xiàn)FG的方程為：x=$\frac{1}{2}$+my．G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（16+12m²）y²+12my-9=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其$\frac{{y}_{1}}{-{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．即可得出m．

解答 解：（1）直線(xiàn)AB的方程為：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，化為：bx-ay-ab=0，
則$\sqrt{^{2}-（\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$（a²-b²）．又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．
聯(lián)立解得：a=1，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=$\frac{1}{2}$．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為${x}^{2}+\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．
（2）如圖所示，假設(shè)存在過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l，
與橢圓C相交于G、H兩點(diǎn)，使得△AFG與△AFH的面積比為1：2．
則$\frac{|FG|}{|FH|}$=$\frac{1}{2}$．
設(shè)直線(xiàn)FG的方程為：x=$\frac{1}{2}$+my．G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+my}\\{{x}^{2}+\frac{4{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（16+12m²）y²+12my-9=0．
∴y₁+y₂=$\frac{-12m}{16+12{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-9}{16+12{m}^{2}}$．
$\frac{{y}_{1}}{-{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
化為：m²=$\frac{4}{5}$，解得m=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
因此存在過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l：x=$\frac{1}{2}±\frac{2\sqrt{5}}{5}$y，
與橢圓C相交于G、H兩點(diǎn)，使得△AFG與△AFH的面積比為1：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．