Question

已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.

（1）若對于x∈R，f(x)＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）若對于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

 

Answer 1

（1）的取值范圍（2）的取值范圍

【解析】

試題分析:（1）對于含二次項恒成立的問題，注意討論二次項系數(shù)是否為0，這是學生容易漏掉的地方.（2）恒成立問題一般需轉(zhuǎn)化為最值，利用單調(diào)性證明在閉區(qū)間的單調(diào)性.（3）一元二次不等式在上恒成立，看開口方向和判別式.（4）含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來處理；二是分離參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般后者比較簡單.

試題解析:解析（1）由題意可得m＝0或?m＝0或－4＜m＜0

?－4＜m≤0.

故m的取值范圍為(－4,0]. 6分

（2）∵f(x)＜－m＋5?m(x2－x＋1)＜6，

∵x2－x＋1＞0，∴m＜對于x∈[1,3]恒成立，

記g(x)＝，x∈[1,3]，

記h(x)＝x2－x＋1，h(x)在x∈[1,3]上為增函數(shù).則g(x)在[1,3]上為減函數(shù)，

∴[g(x)]min＝g（3）＝， ∴m＜. 所以m的取值范圍為. 3分

考點：一元二次不等式恒成立的問題.