已知為公差不為零的等差數(shù)列,首項(xiàng)
,
的部分項(xiàng)
、
、 、
恰為等比數(shù)列,且
,
,
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
(用
表示);
(2)設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
, 求證:
(
是正整數(shù)
(1) (2)見解析
解析試題分析:
(1)由題得a1,a5,a17是成等比數(shù)列的,所以,則可以利用公差d和首項(xiàng)a來表示
,進(jìn)而得到d的值,得到an的通項(xiàng)公式.
(2)利用第一問可以求的等比數(shù)列、
、 、
中的前三項(xiàng),得到該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而得到
的通項(xiàng)公式,再利用分組求和法可得到Sn的表達(dá)式,可以發(fā)現(xiàn)
為不可求和數(shù)列,所以需要把
放縮成為可求和數(shù)列,考慮利用
的二項(xiàng)式定理放縮證明
,即
,故求和即可證明原不等式.
試題解析:
(1)設(shè)數(shù)列的公差為
,
由已知得,
,
成等比數(shù)列,
∴ ,且
2分
得或
∵ 已知為公差不為零
∴, 3分
∴. 4分
(2)由(1)知 ∴
5分
而等比數(shù)列的公比
.
∴ 6分
因此,
∵
∴ 7分
∴ 9分
∵當(dāng)時(shí),
∴(或用數(shù)學(xué)歸納法證明此不等式)
∴ 11分
∴當(dāng)時(shí),
,不等式成立;
當(dāng)時(shí),
綜上得不等式成立. 14分
法二∵當(dāng)時(shí),
∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列的首項(xiàng)
,公差
,且
、
、
分別是等比數(shù)列
的
、
、
.
(1)求數(shù)列和
的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列對(duì)任意正整數(shù)
均有
成立,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,
,且
,
,
成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在數(shù)列中,
為常數(shù),
,且
成公比不等于1的等比數(shù)列
(1)求的值;
(2)設(shè),求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn.
(1)若對(duì)任意的n∈N,a2n-1,a2n+1,a2n組成公差為4的等差數(shù)列,且a1=1,=2013,求n的值;
(2)若數(shù)列是公比為q(q≠-1)的等比數(shù)列,a為常數(shù),求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q=1+
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q,且0<q<.
(1)在數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng),使其成等差數(shù)列?說明理由;
(2)若a1=1,且對(duì)任意正整數(shù)k,ak-(ak+1+ak+2)仍是該數(shù)列中的某一項(xiàng).
(ⅰ)求公比q;
(ⅱ)若bn=-logan+1(+1),Sn=b1+b2+…+bn,Tr=S1+S2+…+Sn,試用S2011表示T2011.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=5,S3=9.
(1)求首項(xiàng)a1和公差d的值;
(2)若Sn=100,求n的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*.求{an}的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1=25,且a1,a11,a13成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
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