已知點A,B的坐標(biāo)分別是(0,-1),(0,1),直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積為-
1
2

(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)過D(2,0)的直線l與軌跡C有兩個不同的交點時,求l的斜率的取值范圍;
(3)若過D(2,0),且斜率為
14
6
的直線l與(1)中的軌跡C交于不同的E、F(E在D、F之間),求△ODE與△ODF的面積之比.
分析:(1)設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),由kAMkBM=-
1
2
,知
y+1
x
y-1
x
=-
1
2
.由此能求出動點M的軌跡方程.
(2)設(shè)l的方程為y=k(x-2)(k≠±
1
2
),代入
x2
2
+y2=1
,得(2k2+1)x2-8k2-x+(8k2-2)=0,由此能求出l的斜率的取值范圍.
(3)設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),由
y=
14
6
(x-2)
x2
2
+y2=1
,得8x2-14x+5=0,由此能求出△ODE與△ODF的面積之比.
解答:解:(1)設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),
kAMkBM=-
1
2
,
y+1
x
y-1
x
=-
1
2

整理,得
x2
2
+y2=1
(x≠0),
這就是動點M的軌跡方程.(4分)
(2)由題意知直線l的斜率存在,
設(shè)l的方程為y=k(x-2)(k≠±
1
2
) ①
將①代入
x2
2
+y2=1
,
得(2k2+1)x2-8k2-x+(8k2-2)=0(*)
由△>0,解得k∈(-
2
2
,-
1
2
)∪(-
1
2
,
1
2
)∪(
1
2
2
2
)
.(8分)
(3)設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),
y=
14
6
(x-2)
x2
2
+y2=1
,
消x得:8x2-14x+5=0,
x1=
1
2
,x2=
5
4

S△ODE
S△ODF
=
|DE|
|DF|
DE 
=λ 
DF 
,
λ=
x1-2
x2-2
=
1
2
λ
=1:2 (13分)
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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已知點A,B的坐標(biāo)分別是(0,-1),(0,1),直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積-
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(1)求點M軌跡C的方程;
(2)若過點D(2,0)的直線l與(1)中的軌跡C交于不同的兩點D、F(E在D、F之間),試求△ODE與△ODF面積之比的取值范圍(O為坐標(biāo)原點).

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(1)求點M軌跡C的方程;
(2)若過點(2,0)且斜率為k的直線l與(1)中的軌跡C交于不同的兩點E、F(E在D、F之間),記△ODE與△ODF面積之比為λ,求關(guān)于λ和k的關(guān)系式,并求出λ取值范圍(O為坐標(biāo)原點).

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