已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(0,-1),(0,1),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積-
12

(1)求點(diǎn)M軌跡C的方程;
(2)若過點(diǎn)D(2,0)的直線l與(1)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)D、F(E在D、F之間),試求△ODE與△ODF面積之比的取值范圍(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
分析:(1)設(shè)M(x,y),∵kAMkBM=-
1
2
,∴
y+1
x
y-1
x
=-
1
2
,整理后就得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.
(2)設(shè)l的方程為y=k(x-2)(k≠±
1
2
)…①
,將①代入
x2
2
+y2=1
,解得0<k2
1
2
,設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),則
x1+x2=
8k2
2k2+1
x1x2=
8k2-2
2k2+1
…②
,令λ=
S△OBE
S△OEF
,則λ=
|BE|
|BF|
,即
BE
=λ•
BF
,即x1-2=λ(x2-2)
,且0<λ<1.由此可求出△ODE與△ODF面積之比的取值范圍是(3-2
2
,
1
3
)∪ (
1
3
,1)
解答:解:(1)設(shè)M(x,y),∵kAMkBM=-
1
2
,∴
y+1
x
y-1
x
=-
1
2
,
整理得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為
x2
2
+y2=1(x≠0)

(2)由題意知直線l的斜率存在,設(shè)l的方程為y=k(x-2)(k≠±
1
2
)…①

將①代入
x2
2
+y2=1
,得l的方程為(2k2+1)x2-8k2x+(8k2-2)=0,由△>0,解得0<k2
1
2

設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),則
x1+x2=
8k2
2k2+1
x1x2=
8k2-2
2k2+1
…②

令λ=
S△ODE
S△ODF
,則λ=
|DE|
|DF|
,即
DE
=λ•
DF
,即x1-2=λ(x2-2)
,且0<λ<1.
由②得,
(x1-2)+(x2-2)=
-4
2k2+1
(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=
2
2k2+1

λ
(1+λ)2
=
2k2+1
8
,即k2=
2k2+1
-
1
2

0<k2
1
2
,且k2
1
4
,∴0<
(1+λ)2
-
1
2
1
2
,且
(1+λ)2
-
1
2
1
4

解得3-2
2
<λ<3+2
2
,且λ≠
1
3
,∵0<λ<1,∴3-2
2
<λ<1
λ≠
1
3

∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是(3-2
2
,
1
3
)∪(
1
3
,1)
點(diǎn)評:本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用,難度較大.在解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【理科生做】已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(0,-1),(0,1),直線AM、BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為-1.
(1)求點(diǎn)M軌跡C的方程;
(2)若過點(diǎn)(2,0)且斜率為k的直線l與(1)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F(E在D、F之間),記△ODE與△ODF面積之比為λ,求關(guān)于λ和k的關(guān)系式,并求出λ取值范圍(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),直線AM與BM相交于點(diǎn)M,且直線AM的斜率與BM斜率之差是2,求點(diǎn)M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(0,-1),(0,1),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為-
1
2

(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)過D(2,0)的直線l與軌跡C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí),求l的斜率的取值范圍;
(3)若過D(2,0),且斜率為
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6
的直線l與(1)中的軌跡C交于不同的E、F(E在D、F之間),求△ODE與△ODF的面積之比.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(0,-1),B(0,1),直線AM、BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是2,求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明曲線的類型.

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