Question

已知△ABC滿足|BC|=6，|AB|+|AC|=10，則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①點(diǎn)A的軌跡是橢圓；
②△ABC可以是以∠A為直角的直角三角形；
③△ABC面積的最大值為12；
④△ABC外接圓半徑存在最小值，且為

25

8

；
⑤△ABC內(nèi)切圓半徑存在最大值，且為

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,解三角形,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓的定義，即可得到A的軌跡，從而判斷①；
由于b＞c，則以BC為直徑的圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，即可判斷②；
當(dāng)A為橢圓的短軸的端點(diǎn)，三角形ABC的面積最大，求出面積，即可判斷③；
由正弦定理，可得2R=

BC

sinA

=

6

sinA

，由于當(dāng)A為短軸端點(diǎn)時(shí)，∠BAC最大，求出最小值，即可判斷④；
設(shè)三角形的內(nèi)切圓的半徑為r，則由三角形的面積為

1

2

r（|AB|+|AC|+|BC|）=8r，
則由于△ABC面積的最大值為12，求出半徑的最大值，即可判斷⑤．

解答： 解：對(duì)于①，由于△ABC滿足|BC|=6，|AB|+|AC|=10，則由橢圓的定義，
可得A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)，焦距為6，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓，（除去和B，C共線的兩點(diǎn)），故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，由于c=3，a=5則b=4，b＞c，則以BC為直徑的圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，即不存在A，
使得△ABC是以∠A為直角的直角三角形，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，由于c=3，a=5則b=4，當(dāng)A為橢圓的短軸的端點(diǎn)，三角形ABC的面積最大，
則有最大值為

1

2

×6×4=12，故③正確；
對(duì)于④，由正弦定理，可得2R=

BC

sinA

=

6

sinA

，由于當(dāng)A為短軸端點(diǎn)時(shí)，∠BAC最大，
此時(shí)sinA=2sin

A

2

cos

A

2

=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

，即有R的最小值為：

3

24 25

=

25

8

，
則△ABC外接圓半徑存在最小值，且為

25

8

，故④正確；
對(duì)于⑤，設(shè)三角形的內(nèi)切圓的半徑為r，則由三角形的面積為

1

2

r（|AB|+|AC|+|BC|）=8r，
則由于△ABC面積的最大值為12，則△ABC內(nèi)切圓半徑存在最大值，且為

3

2

，故⑤正確．
故答案為：③④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)和運(yùn)用，考查三角形的正弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的求值，考查推理能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．