Question

已知△ABC滿足|BC|=6，|AB|+|AC|=10，則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．
①點A的軌跡是橢圓；
②△ABC可以是以∠A為直角的直角三角形；
③△ABC面積的最大值為12；
④△ABC外接圓半徑存在最小值，且為

25

8

；
⑤△ABC內切圓半徑存在最大值，且為

3

2

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,解三角形,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由橢圓的定義，即可得到A的軌跡，從而判斷①；
由于b＞c，則以BC為直徑的圓與橢圓沒有交點，即可判斷②；
當A為橢圓的短軸的端點，三角形ABC的面積最大，求出面積，即可判斷③；
由正弦定理，可得2R=

BC

sinA

=

6

sinA

，由于當A為短軸端點時，∠BAC最大，求出最小值，即可判斷④；
設三角形的內切圓的半徑為r，則由三角形的面積為

1

2

r（|AB|+|AC|+|BC|）=8r，
則由于△ABC面積的最大值為12，求出半徑的最大值，即可判斷⑤．

解答： 解：對于①，由于△ABC滿足|BC|=6，|AB|+|AC|=10，則由橢圓的定義，
可得A的軌跡為以B，C為焦點，焦距為6，長軸長為10的橢圓，（除去和B，C共線的兩點），故①錯誤；
對于②，由于c=3，a=5則b=4，b＞c，則以BC為直徑的圓與橢圓沒有交點，即不存在A，
使得△ABC是以∠A為直角的直角三角形，故②錯誤；
對于③，由于c=3，a=5則b=4，當A為橢圓的短軸的端點，三角形ABC的面積最大，
則有最大值為

1

2

×6×4=12，故③正確；
對于④，由正弦定理，可得2R=

BC

sinA

=

6

sinA

，由于當A為短軸端點時，∠BAC最大，
此時sinA=2sin

A

2

cos

A

2

=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

，即有R的最小值為：

3

24 25

=

25

8

，
則△ABC外接圓半徑存在最小值，且為

25

8

，故④正確；
對于⑤，設三角形的內切圓的半徑為r，則由三角形的面積為

1

2

r（|AB|+|AC|+|BC|）=8r，
則由于△ABC面積的最大值為12，則△ABC內切圓半徑存在最大值，且為

3

2

，故⑤正確．
故答案為：③④⑤

點評：本題考查圓錐曲線的定義、性質和運用，考查三角形的正弦定理和面積公式的運用，考查三角函數(shù)的求值，考查推理能力，屬于中檔題和易錯題．