已知△ABC滿足|BC|=6,|AB|+|AC|=10,則下列命題正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號(hào)).
①點(diǎn)A的軌跡是橢圓;
②△ABC可以是以∠A為直角的直角三角形;
③△ABC面積的最大值為12;
④△ABC外接圓半徑存在最小值,且為
25
8

⑤△ABC內(nèi)切圓半徑存在最大值,且為
3
2
考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用
專題:閱讀型,解三角形,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:由橢圓的定義,即可得到A的軌跡,從而判斷①;
由于b>c,則以BC為直徑的圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn),即可判斷②;
當(dāng)A為橢圓的短軸的端點(diǎn),三角形ABC的面積最大,求出面積,即可判斷③;
由正弦定理,可得2R=
BC
sinA
=
6
sinA
,由于當(dāng)A為短軸端點(diǎn)時(shí),∠BAC最大,求出最小值,即可判斷④;
設(shè)三角形的內(nèi)切圓的半徑為r,則由三角形的面積為
1
2
r(|AB|+|AC|+|BC|)=8r,
則由于△ABC面積的最大值為12,求出半徑的最大值,即可判斷⑤.
解答: 解:對(duì)于①,由于△ABC滿足|BC|=6,|AB|+|AC|=10,則由橢圓的定義,
可得A的軌跡為以B,C為焦點(diǎn),焦距為6,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓,(除去和B,C共線的兩點(diǎn)),故①錯(cuò)誤;
對(duì)于②,由于c=3,a=5則b=4,b>c,則以BC為直徑的圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn),即不存在A,
使得△ABC是以∠A為直角的直角三角形,故②錯(cuò)誤;
對(duì)于③,由于c=3,a=5則b=4,當(dāng)A為橢圓的短軸的端點(diǎn),三角形ABC的面積最大,
則有最大值為
1
2
×6×4
=12,故③正確;
對(duì)于④,由正弦定理,可得2R=
BC
sinA
=
6
sinA
,由于當(dāng)A為短軸端點(diǎn)時(shí),∠BAC最大,
此時(shí)sinA=2sin
A
2
cos
A
2
=2×
3
5
×
4
5
=
24
25
,即有R的最小值為:
3
24
25
=
25
8
,
則△ABC外接圓半徑存在最小值,且為
25
8
,故④正確;
對(duì)于⑤,設(shè)三角形的內(nèi)切圓的半徑為r,則由三角形的面積為
1
2
r(|AB|+|AC|+|BC|)=8r,
則由于△ABC面積的最大值為12,則△ABC內(nèi)切圓半徑存在最大值,且為
3
2
,故⑤正確.
故答案為:③④⑤
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)和運(yùn)用,考查三角形的正弦定理和面積公式的運(yùn)用,考查三角函數(shù)的求值,考查推理能力,屬于中檔題和易錯(cuò)題.
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2
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