【題目】已知函數(shù)f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);
(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函數(shù)h(x)圖像上任意兩點(diǎn),且滿足>1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若x∈(0,1],使f(x)≥成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.
【答案】(1)m(t)=(2)a≤2-2.(3)a≤2-2.
【解析】
(1)是研究在動(dòng)區(qū)間上的最值問(wèn)題,這類問(wèn)題的研究方法就是通過(guò)討論函數(shù)的極值點(diǎn)與所研究的區(qū)間的大小關(guān)系來(lái)進(jìn)行求解.
(2)注意到函數(shù)h(x)的圖像上任意不同兩點(diǎn)A,B連線的斜率總大于1,等價(jià)于h(x1)-h(x2)<x1-x2(x1<x2)恒成立,從而構(gòu)造函數(shù)F(x)=h(x)-x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,進(jìn)而等價(jià)于F′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立來(lái)加以研究.
(3)用處理恒成立問(wèn)題來(lái)處理有解問(wèn)題,先分離變量轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值,得到a≤,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)M(x)=的最大值,這要用到二次求導(dǎo),才可確定函數(shù)單調(diào)性,進(jìn)而確定函數(shù)最值.
(1) f′(x)=1-,x>0,
令f′(x)=0,則x=1.
當(dāng)t≥1時(shí),f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,f(x)的最小值為f(t)=t-lnt;
當(dāng)0<t<1時(shí),f(x)在區(qū)間(t,1)上為減函數(shù),在區(qū)間(1,t+1)上為增函數(shù),f(x)的最小值為f(1)=1.
綜上,m(t)=
(2)h(x)=x2-(a+1)x+lnx,
不妨取0<x1<x2,則x1-x2<0,
則由,可得h(x1)-h(x2)<x1-x2,
變形得h(x1)-x1<h(x2)-x2恒成立.
令F(x)=h(x)-x=x2-(a+2)x+lnx,x>0,
則F(x)=x2-(a+2)x+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
故F′(x)=2x-(a+2)+≥0在(0,+∞)上恒成立,
所以2x+≥a+2在(0,+∞)上恒成立.
因?yàn)?/span>2x+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取“=”,
所以a≤2-2.
(3)因?yàn)?/span>f(x)≥,所以a(x+1)≤2x2-xlnx.
因?yàn)?/span>x∈(0,1],則x+1∈(1,2],所以x∈(0,1],使得a≤成立.
令M(x)=,則M′(x)=.
令y=2x2+3x-lnx-1,則由y′==0 可得x=或x=-1(舍).
當(dāng)x∈時(shí),y′<0,則函數(shù)y=2x2+3x-lnx-1在上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈時(shí),y′>0,則函數(shù)y=2x2+3x-lnx-1在上單調(diào)遞增.
所以y≥ln4->0,
所以M′(x)>0在x∈(0,1]時(shí)恒成立,
所以M(x)在(0,1]上單調(diào)遞增.
所以只需a≤M(1),即a≤1.
所以實(shí)數(shù)a的最大值為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為考查某種疫苗預(yù)防疾病的效果,進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn),得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:
未發(fā)病 | 發(fā)病 | 合計(jì) | |
未注射疫苗 | 40 | ||
注射疫苗 | 60 | ||
合計(jì) | 100 | 100 | 200 |
現(xiàn)從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只,取到“注射疫苗”動(dòng)物的概率為.
(1)求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)的值;
(2)在圖中繪制發(fā)病率的條形統(tǒng)計(jì)圖,并判斷疫苗是否有效?
(3)在出錯(cuò)概率不超過(guò)的條件下能否認(rèn)為疫苗有效?
附:.
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示,其中四邊形 ABCD 為正方形, E F 分別為PB PC 的中點(diǎn),在此幾何體中,下面結(jié)論中一定正確的是( )
A.直線 AE 與直線 DF 平行B.直線 AE 與直線 DF 異面
C.直線 BF 和平面 PAD 相交D.直線 DF 平面 PBC
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周牌算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖,現(xiàn)在提供6種不同的顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色,規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域顏色不同,則,區(qū)域涂同色的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中.
(1)求過(guò)點(diǎn)和函數(shù)的圖像相切的直線方程;
(2)若對(duì)任意,有恒成立,求的取值范圍;
(3)若存在唯一的整數(shù),使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若函數(shù)僅有個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體中,為直三棱柱,四邊形為平行四邊形,, .
(1)若,證明:四點(diǎn)共面,且;
(2)若,二面角的余弦值為,求直線與平面所成角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,底面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,平面ADEF⊥平面ABCD,AF∥DE,AD⊥DE,AF=,DE=.
(1)求直線CA與平面BEF所成角的正弦值;
(2)在線段AF上是否存在點(diǎn)M,使得二面角MBED的大小為60°?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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