Question

在數(shù)列{a_n} 中，a1=1，a_n=2（a_n-1-1）+n（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）證明：數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列，并求{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）令遞推關(guān)系中的n分別取2，3求出a₂，a₃的值．
（2）利用已知的遞推關(guān)系求出

an+1+n+1

an+ n

的值是常數(shù)，據(jù)等比數(shù)列的定義得證；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
求出a_n+n通過解方程求出a_n
（3）通過分組，再利用等比數(shù)列及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2，n∈N^*）
∴a₂=2a₁+2-2=2…（2分）
a₃=2a₂+3-2=5…（4分）
（2）證明：∵

an+1+n+1

an+ n

=

(2an+n-1)+n+1

an+n

=2
∴數(shù)列{a_n+n}是首項(xiàng)為a₁+1=2公比為2的等比數(shù)列…（7分）
a_n+n=2•2^n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-n
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ-n…（9分）
（3）∵{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ-n
∴S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（1+2+3+…+n）…（11分）
=

2(1-2n)

1-2

-

n(n+1)

2

=2n+1-

n2+n+4

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：證明數(shù)列是特殊數(shù)列常用的方法是定義法；求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)關(guān)鍵是判斷出數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，然后選擇合適的方法．