如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的對角線BD把△ABD折起，使A移到A1點，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
求證：（1）BC⊥A1D；
（2）平面A1BC⊥平面A1BD。
證明：（1）由于A1在平面BCD上的射影O在CD上，則A1O⊥平面BCD，
又BC平面BCD，則BC⊥A1O，
又BC⊥CO，A1O∩CO=O，則BC⊥平面A1CD，
又A1D平面A1CD，
故BC⊥A1D。
（2）因為ABCD為矩形，所以A1B⊥A1D，
由（1）知BC⊥A1D，A1B∩BC=B，則A1D⊥平面A1BC，
又A1D平面A1BD，
從而有平面A1BC⊥平面A1BD．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：名師指點學(xué)高中課程 數(shù)學(xué) 高二（下） 題型：044

如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿對角線AC將△ABC折起，使B點在平面ADC內(nèi)的射影恰好落在AD上，求：

(1)異面直線AB與CD成的角；

(2)異面直線AB與CD的距離；

(3)二面角B－AC－D的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆安徽省高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、

PC的中點．

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）求證：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF與平面ABCD所成的角的大�。�

【解析】本試題主要考查了線面平行和線線垂直的運用，以及線面角的求解的綜合運用

第一問中，利用連AC，設(shè)AC中點為O，連OF、OE在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

第二問中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影       ∴ CD⊥EF．

第三問中，若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，F(xiàn)OPA

∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

證：連AC，設(shè)AC中點為O，連OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影     ∴ CD⊥EF．

（3）若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，F(xiàn)OPA

∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10，共計20分。請在答題卡指定區(qū)域作答。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

A、選修4-1：幾何證明選講

   如圖，已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AD//BC，過C作該圓的切線，交AD的延長線于E，求證：ΔABC∽ΔEDC。

B、選修4-2：矩形與變換

已知 為矩陣屬于λ的一個特征向量，求實數(shù)a，λ的值及A2。

C、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

   在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線D的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）。若曲線C、D有公共點，求實數(shù)m的取值范圍。

D、選修4-5：不等式選講

   已知a，b都是正實數(shù)，且ab=2。求證：（1+2a）（1+b）≥9。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知幾何體ABC-DEF中，△ABC及△DEF都是邊長為2的等邊三角形，四邊形ABEF為矩形，且CD=AF+2，CD//AF，O為AB中點.

（1）求證：AB⊥平面DCO

（2）若M為CD中點，AF=x，則當(dāng)x取何值時，使AM與平面ABEF所成角為45°？

試求相應(yīng)的x值的.

（3）求該幾何體在(2)的條件下的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10，共計20分。請在答題卡指定區(qū)域作答。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
A、選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AD//BC，過C作該圓的切線，交AD的延長線于E，求證：ΔABC∽ΔEDC。

B、選修4-2：矩形與變換
已知為矩陣屬于λ的一個特征向量，求實數(shù)a，λ的值及A2。
C、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線D的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）。若曲線C、D有公共點，求實數(shù)m的取值范圍。
D、選修4-5：不等式選講
已知a，b都是正實數(shù)，且ab=2。求證：（1+2a）（1+b）≥9。

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